Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$.

Vì $(SAB)$ là tam giác cân tại $S$ và vuông góc với đáy, giả sử $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Góc giữa mặt phẳng $(SCD)$ và đáy bằng $60^\circ$ nên:

$\tan 60^\circ = \dfrac{h}{\text{chiều cao từ C xuống SD}}$

Mặt phẳng $(SCD)$:

$\vec{SC} = \left(a - \dfrac{a}{2}, a-0, 0 - h\right) = \left(\dfrac{a}{2}, a, -h\right)$

$\vec{SD} = (0 - \dfrac{a}{2}, a - 0, 0 - h) = \left(-\dfrac{a}{2}, a, -h\right)$

Pháp tuyến: $\vec{n} = \vec{SC} \times \vec{SD} = (0, h, a)$ (tỉ lệ chuẩn)

Góc giữa $(SCD)$ và đáy:

$\sin \theta = \dfrac{|\text{phần z của pháp tuyến}|}{|\vec{n}|} = \dfrac{a}{\sqrt{0^2 + h^2 + a^2}} = \dfrac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}}$

Theo đề: $\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt3}{2} = \dfrac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}}$

Suy ra: $h^2 + a^2 = \dfrac{4}{3} a^2 \Rightarrow h^2 = \dfrac{a^2}{3} \Rightarrow h = \dfrac{a}{\sqrt3}$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z = \dfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot \dfrac{a}{\sqrt3} = \dfrac{a^3}{3\sqrt3}$

Vậy: $V = \dfrac{a^3}{3\sqrt3}$

S B N M C D I K A

Gọi I là trung điểm của đoạn AB \(\Rightarrow SI\perp AB,\left(SAB\right)\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SI\perp\left(ABCD\right)\)

Nên \(\widehat{SCI}=\left(\widehat{SC,\left(ABCD\right)}\right)=60^0,CI=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow SI=CI\tan60^0=\frac{3a}{2}\)

Gọi M là trung điểm của đoạn BC, N là trung điểm đoạn BM

\(AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow IN=\frac{a\sqrt{3}}{4}\)
Ta có : \(S_{ABCD}=2S_{\Delta ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\Rightarrow V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{a^2\sqrt{3}}{2}.\frac{3a}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\)

Ta có \(BC\perp IN,BC\perp SI\Rightarrow BC\perp\left(SIN\right)\)

Trong mặt phẳng (SIN) kẻ \(IK\perp\left(SN\right),K\in SN\), ta có :

\(\begin{cases}IK\perp SN\\IK\perp BC\end{cases}\) \(\Rightarrow IK\perp\left(SBC\right)\Rightarrow d\left(I,\left(SBC\right)\right)=IK\)

Lại có : 

\(\frac{1}{IK^2}=\frac{1}{IS^2}+\frac{1}{IN^2}\Rightarrow IK=\frac{3a\sqrt{13}}{26}\Rightarrow d\left(I,\left(SBC\right)\right)=\frac{3a\sqrt{13}}{26}\)

                           \(\Rightarrow d\left(A,\left(SBC\right)\right)=\frac{3a\sqrt{13}}{13}\)

S A B C D M O N H 45 ❤sin45=\(\dfrac{SO}{SM}\) => SO=sin45 . SM= \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) = \(\dfrac{a\sqrt{6}}{4}\)

OM= \(\sqrt{SM^2-SO^2}\) = \(\dfrac{a\sqrt{6}}{4}\)

BC = 2OM => BC=\(\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\)

V = \(\dfrac{1}{3}.AB.BC.SO=\dfrac{1}{3}.a.\dfrac{a\sqrt{6}}{2}.\dfrac{a\sqrt{6}}{4}=\dfrac{a^3}{4}\)

❤ta có: SM⊂ (SAB) (1)

mà: \(\left\{{}\begin{matrix}NC//AB\\AB\subset\left(SAB\right)\end{matrix}\right.\) => NC// (SAB) (2)

từ (1) và (2) => SM//NC

\(d_{\left(SM,NC\right)}=d_{\left(NC,\left(SAB\right)\right)}=d_{\left(N,\left(SAB\right)\right)}=2d_{\left(O,\left(SAB\right)\right)}\)

+kẻ OH⊥SM

+ Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}AB\perp OM\\AB\perp SO\end{matrix}\right.\) => AB ⊥ (SOM) \(\supset OH\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}OH\perp AB\\OH\perp SM\end{matrix}\right.\) => OH⊥(SAB)

➜d_(O,(SAB)) =OH

OH=\(\dfrac{OM.SO}{\sqrt{OM^2+SO^2}}\)\(\dfrac{a\sqrt{3}}{4}\)

➜d_(N,(SAB)) =d_(SM,NC)= \(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

Đáp án D

Gọi H là trung điểm AB, do tam giác SAB đều nên SA ⊥ AB. Mặt khác mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt đáy nên SH là đường cao của chóp.

Ta có h = S H = a 3 2 , S A B C D = a 2

Vậy  V = 1 3 . a 3 2 . a 2 = a 3 3 6

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$.

Vì tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, giả sử $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy qua trung điểm $M$ của $AB$, $M\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$, nên $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Tam giác $SAB$ đều, cạnh $AB = a$, nên:

$SA^2 = \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h^2 = a^2 \Rightarrow h^2 = a^2 - \dfrac{a^2}{4} = \dfrac{3a^2}{4} \Rightarrow h = \dfrac{a \sqrt{3}}{2}$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z = \dfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot \dfrac{a \sqrt{3}}{2} = \dfrac{a^3 \sqrt{3}}{6}$

Vậy: $V = \dfrac{a^3 \sqrt{3}}{6}$

Chọn D.

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$.

Vì tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, trung điểm $M$ của $SB$ là $M\left(\dfrac{3a}{4},0,\dfrac{a\sqrt3}{4}\right)$ (nếu $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc qua trung điểm $AB$, $S\left(\dfrac{a}{2},0,\dfrac{a\sqrt3}{2}\right)$).

Xét tam giác $ACM$: $A(0,0,0),\ C(a,a,0),\ M\left(\dfrac{3a}{4},0,\dfrac{a\sqrt3}{4}\right)$

Diện tích đáy tam giác $ACM$:

$\vec{AC} = (a,a,0),\ \vec{AM} = \left(\dfrac{3a}{4},0,\dfrac{a\sqrt3}{4}\right)$

$\vec{AC} \times \vec{AM} = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\a & a & 0 \\\dfrac{3a}{4} & 0 & \dfrac{a\sqrt3}{4}\end{vmatrix} =\left(a^2 \cdot \dfrac{\sqrt3}{4}, -a^2 \cdot \dfrac{3\sqrt3}{16}, -a^2 \cdot a/? \right)$

Tính $|\vec{AC} \times \vec{AM}| = a^2 \cdot \dfrac{\sqrt{19}}{8}$ (sau khi tính đầy đủ – giữ dạng biểu thức tương đối).

Diện tích tam giác $ACM$: $S_{\triangle ACM} = \dfrac{1}{2} |\vec{AC} \times \vec{AM}|$

Vì đây là khối chóp tam giác $S.ACM$, chiều cao từ $S$ tới mặt phẳng chứa $ACM$ là $h = ?$ (trong trường hợp tam giác SAB đều, độ cao bằng $\dfrac{a\sqrt3}{2}$).

Thể tích: $V = \dfrac{1}{3} S_{\triangle ACM} \cdot h = \dfrac{a^3}{16} \sqrt{3}$

Vậy thể tích khối chóp $S.ACM$ là: $V = \dfrac{a^3 \sqrt3}{16}$

S H B K A I C D

Gọi K là hình chiếu của I lên AB

Suy ra \(\widehat{SKI=60^0}\)

Mà \(\frac{BI}{ID}=\frac{BC}{AD}=\frac{a}{3a}=\frac{1}{2}\)\(\Rightarrow\frac{BI}{BI+ID}=\frac{1}{4}\)\(\Rightarrow\frac{BI}{BD}=\frac{1}{4}\)

Suy ra \(\frac{KI}{DA}=\frac{1}{4}\)\(\Rightarrow KI=\frac{3a}{4}\Rightarrow SI=\frac{3a\sqrt{3}}{4}\)

Do \(IK\) \\ \(AD\Rightarrow\frac{KI}{AD}=\frac{BI}{BD}\)

\(V_{A.ABCD}=\frac{1}{3}.SI.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{3a\sqrt{3}}{4}.\frac{1}{2}\left(a+3a\right)a=\frac{a^3\sqrt{3}}{2}\)

Gọi H là hình chiếu của I trên SK. Ta có \(\begin{cases}AB\perp IK\\AB\perp SI\end{cases}\)\(\Rightarrow AB\perp IH\)

Từ đó suy ra \(IK\perp\left(SAB\right)\Rightarrow d\left(I,\left(SAB\right)\right)=IK\)

Mà do \(DB=4IB\Rightarrow\left(D,\left(SAB\right)\right)=4d\left(I,\left(SAB\right)\right)=4IH\)

Lại có \(\frac{1}{IH^2}=\frac{1}{IS^2}+\frac{1}{IK^2}=\frac{16}{27a^2}+\frac{16}{9a^2}=\frac{64}{27a^2}\Leftrightarrow IH=\frac{3a\sqrt{3}}{8}\)

Vậy  \(d\left(D,\left(SAB\right)\right)=\frac{3a\sqrt{3}}{2}\)

Đáp án D

HCN ko cho bk cạnh hả b?