Đáp án B

Đáp án đúng : D

Chọn đáp án B

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$ và $S(0,0,a)$ vì $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a$.

- Hình chiếu $H$ của $A$ lên $SB$:

$\vec{SB} = B - S = (a,0,-a)$, $\vec{SA} = A - S = (0,0,-a)$

Hình chiếu $H$: $\vec{SH} = t \vec{SB}$, $z_H = 0 \Rightarrow a - a t = 0 \Rightarrow t=1$

Vậy $H = S + \vec{SH} = S + \vec{SB} = (0,0,a) + (a,0,-a) = (a,0,0)$

- Hình chiếu $K$ của $A$ lên $SD$:

$\vec{SD} = D - S = (0,a,-a)$, $\vec{SK} = s \vec{SD}$, $z_K = 0 \Rightarrow a - a s = 0 \Rightarrow s = 1$

Vậy $K = S + \vec{SD} = (0,0,a) + (0,a,-a) = (0,a,0)$

- Mặt phẳng $(AHK)$ đi qua $A(0,0,0), H(a,0,0), K(0,a,0)$

Pháp tuyến: $\vec{n} = \vec{AH} \times \vec{AK} = (a,0,0) \times (0,a,0) = (0,0,a^2)$

- Vector $\vec{SD} = D - S = (0,a,-a)$

- Tang của góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $(AHK)$:

$\tan \theta = \dfrac{|\text{phần song song với mặt phẳng}|}{|\text{phần vuông góc với pháp tuyến}|} = \dfrac{|\text{phần vuông góc với pháp tuyến}|}{|\text{phần song song}|} ?$

Công thức chuẩn: với đường thẳng $\vec{v}$ và mặt phẳng pháp tuyến $\vec{n}$:

$\tan \theta = \dfrac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v} \times \vec{n}|}$

Tính:

$\vec{v} \cdot \vec{n} = (0,a,-a) \cdot (0,0,a^2) = -a \cdot a^2 = -a^3$

$|\vec{v} \times \vec{n}| = |(0,a,-a) \times (0,0,a^2)| = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & a & -a \\ 0 & 0 & a^2 \end{vmatrix} = (a^3,0,0) \Rightarrow |\vec{v} \times \vec{n}| = a^3$

Vậy: $\tan \theta = \dfrac{|-a^3|}{a^3} = 1$

Chọn C. $1$

Chọn D.

Phương pháp:

+) Sử dụng công thức tỉ lệ thể tích:

Cho khối chóp S.ABC, các điểm A 1 ,   B 1 ,   C 1  lần lượt thuộc SA, SB, SC

+) Chia khối chóp đã cho thành các khối chóp nhỏ, tính thể tích của từng khối chóp.

Cách giải:

I,J lần lượt là trung điểm của SM, SC (do K là trung điểm của SA)

Trong (SAB), gọi N là giao điểm của IK và AB

Trong (ABCD), kẻ đường thẳng qua N song song AC, cắt AD tại Q, CD tại P.

Khi đó, dễ dàng chứng minh P, Q lần lượt là trung điểm của CD, AD và

*) Gọi L là trung điểm của SD

Khi đó, khối đa diện SKJPQD được chia làm 2 khối: hình lăng trụ tam giác KJL.QPD và hình chóp tam giác S.KJL

Đáp án B

d K , S C D = 1 2 d H , S C D = 1 2 H F .

A H = 1 3 A B = 1 3 a ; B H = 2 3 A B = 2 3 a

C H = B H 2 + B C 2 = 13 3 a .

C ó   g ó c   g i ữ a   S C   v à   đ á y   l à   60 °     n ê n   t a   c ó  

S C H ^ = 60 0 ⇒ S H = tan 60 0 . C H = 39 3 a

ta có  1 H F 2 = 1 H E 2 + 1 A H 2 ⇒ H F = 13 4 a

Chọn đáp án C

Lại có MDCN là hình thang vuông tại M và D.

Bằng định lí Talet và Pitago ta tính được

Từ giả thiết ta có AB = a; SA =  a 2 ; SB =  a 3 2

∆ A B C vuông tại S ⇒ S H = A B 2 ⇒ ∆ S . A H đều.

Gọi M là trung điểm của AH thì  S M ⊥ A B

Do S A B ⊥ A B C D  nên  S M ⊥ A B C D

Vậy V = 1 3 S M . S K C D = a 3 32

Đáp án D