Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a/ Ta có: \(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BD\)
Mà \(BD\perp AC\) (hai đường chéo hình thoi)
\(\Rightarrow BD\perp\left(SAC\right)\)
c/ Do \(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow AC\) là hình chiếu của SC lên (ABCD)
\(\Rightarrow\widehat{SCA}\) là góc giữa SC và (ABCD)
\(\widehat{ABC}=60^0\Rightarrow\Delta ABC\) đều \(\Rightarrow AC=a\)
\(tan\widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow\widehat{SCA}=60^0\)
a)
Ta có $SO \perp (ABCD)$ nên: $SO \perp AD$ và $SO \perp AB$.
Mà $AB \perp AD$ nên: $BC \parallel AD \Rightarrow BC \perp AB$.
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ nên: $OM \parallel AB$.
Suy ra: $OM \perp AD$.
Xét hai đường thẳng trong mặt phẳng $(SAD)$:
$AD,\ SA$.
Ta có: $SM$ đi qua $S$ và $M$.
Xét tam giác $SOM$:
$SO \perp OM$ nên $\triangle SOM$ vuông tại $O$.
Mặt khác: $OM \parallel AB \Rightarrow OM \perp AD$.
Suy ra: $SM \perp AD$.
Ta lại có:
$SO \perp AD$ và $SM$ nằm trong mặt phẳng $(SOM)$ nên: $SM \perp SA$.
Vậy:
$SM \perp AD$ và $SM \perp SA$
$\Rightarrow SM \perp (SAD)$.
b)
Gọi $\varphi$ là góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(SAD)$.
Khi đó: $\sin \varphi = \dfrac{d(C,(SAD))}{SC}$.
Tính các độ dài:
Ta có: $AB = a,\ AD = 2a \Rightarrow AC = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = a\sqrt{5}$.
$OC = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{a\sqrt{5}}{2}$.
Trong tam giác vuông $SOC$: $SO = \dfrac{a}{2}$.
$SC^2 = SO^2 + OC^2 = \dfrac{a^2}{4} + \dfrac{5a^2}{4} = \dfrac{6a^2}{4}$
$\Rightarrow SC = \dfrac{a\sqrt{6}}{2}$.
Tính khoảng cách từ $C$ đến $(SAD)$:
Do $(SAD)$ chứa $AD$ và $SO$ nên là mặt phẳng vuông góc đáy theo phương $AD$.
Suy ra khoảng cách từ $C$ đến $(SAD)$ chính là khoảng cách từ $C$ đến đường $AD$ trong đáy.
Mà hình chữ nhật nên: $d(C,AD) = AB = a$.
Do đó: $\sin \varphi = \dfrac{a}{\dfrac{a\sqrt{6}}{2}} = \dfrac{2}{\sqrt{6}} = \dfrac{\sqrt{6}}{3}$.
Đặt hệ trục tọa độ: Chọn $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ C(a,a,0),\ D(0,a,0)$.
Vì $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a\sqrt{6}$ nên đặt $S(0,0,a\sqrt{6})$.
Xét: $\vec{SB} = (a,0,-a\sqrt{6}),\ \vec{SA} = (0,0,a\sqrt{6}),\ \vec{AC} = (a,a,0)$.
Mặt phẳng $(SAC)$ có vectơ pháp tuyến:
$\vec{n} = \vec{SA} \times \vec{AC} = (-a^2\sqrt{6},\ a^2\sqrt{6},\ 0)$.
Góc giữa $SB$ và $(SAC)$ là $\alpha$, ta có:
$\sin\alpha = \dfrac{|\vec{SB} \cdot \vec{n}|}{|\vec{SB}| \cdot |\vec{n}|}$.
Tính: $\vec{SB} \cdot \vec{n} = a(-a^2\sqrt{6}) + 0 + (-a\sqrt{6})\cdot 0 = -a^3\sqrt{6}$
⇒ $|\vec{SB} \cdot \vec{n}| = a^3\sqrt{6}$.
$|\vec{SB}| = \sqrt{a^2 + 6a^2} = a\sqrt{7}$.
$|\vec{n}| = \sqrt{(-a^2\sqrt{6})^2 + (a^2\sqrt{6})^2} = a^2\sqrt{12} = 2a^2\sqrt{3}$.
Suy ra: $\sin\alpha = \dfrac{a^3\sqrt{6}}{a\sqrt{7} \cdot 2a^2\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{6}}{2\sqrt{21}} = \dfrac{1}{\sqrt{14}}$.
Vậy: $\sin\alpha = \dfrac{1}{\sqrt{14}} = \dfrac{\sqrt{14}}{14}$.
Đáp án: A. $\dfrac{1}{\sqrt{14}}$