Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a có \(\angle \left(\right. S C , \left(\right. A B C D \left.\right) \left.\right) = 45^{\circ}\).
Nghĩa là hình chiếu của \(S\) xuống đáy nằm trên đường chéo \(B D\).
Xét tam giác cân \(S A B\), do tính đối xứng ⇒ khoảng cách từ \(A\) đến \(\left(\right. S C D \left.\right)\) chính bằng nửa cạnh hình vuông:
\(d\left(\right.A,\left(\right.SCD\left.\right)\left.\right)=\frac{a}{2}\)
Với \(M\) là trung điểm \(S A\), khoảng cách giảm đi một nửa:
\(d\left(\right.M,\left(\right.SCD\left.\right)\left.\right)=\frac{a}{4}\)
Đáp số
\(d \left(\right. A , \left(\right. S C D \left.\right) \left.\right) = \frac{a}{2}\)
\(d \left(\right. M , \left(\right. S C D \left.\right) \left.\right) = \frac{a}{4}\)
a)
Ta có $SO \perp (ABCD)$ nên: $SO \perp AD$ và $SO \perp AB$.
Mà $AB \perp AD$ nên: $BC \parallel AD \Rightarrow BC \perp AB$.
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ nên: $OM \parallel AB$.
Suy ra: $OM \perp AD$.
Xét hai đường thẳng trong mặt phẳng $(SAD)$:
$AD,\ SA$.
Ta có: $SM$ đi qua $S$ và $M$.
Xét tam giác $SOM$:
$SO \perp OM$ nên $\triangle SOM$ vuông tại $O$.
Mặt khác: $OM \parallel AB \Rightarrow OM \perp AD$.
Suy ra: $SM \perp AD$.
Ta lại có:
$SO \perp AD$ và $SM$ nằm trong mặt phẳng $(SOM)$ nên: $SM \perp SA$.
Vậy:
$SM \perp AD$ và $SM \perp SA$
$\Rightarrow SM \perp (SAD)$.
b)
Gọi $\varphi$ là góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(SAD)$.
Khi đó: $\sin \varphi = \dfrac{d(C,(SAD))}{SC}$.
Tính các độ dài:
Ta có: $AB = a,\ AD = 2a \Rightarrow AC = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = a\sqrt{5}$.
$OC = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{a\sqrt{5}}{2}$.
Trong tam giác vuông $SOC$: $SO = \dfrac{a}{2}$.
$SC^2 = SO^2 + OC^2 = \dfrac{a^2}{4} + \dfrac{5a^2}{4} = \dfrac{6a^2}{4}$
$\Rightarrow SC = \dfrac{a\sqrt{6}}{2}$.
Tính khoảng cách từ $C$ đến $(SAD)$:
Do $(SAD)$ chứa $AD$ và $SO$ nên là mặt phẳng vuông góc đáy theo phương $AD$.
Suy ra khoảng cách từ $C$ đến $(SAD)$ chính là khoảng cách từ $C$ đến đường $AD$ trong đáy.
Mà hình chữ nhật nên: $d(C,AD) = AB = a$.
Do đó: $\sin \varphi = \dfrac{a}{\dfrac{a\sqrt{6}}{2}} = \dfrac{2}{\sqrt{6}} = \dfrac{\sqrt{6}}{3}$.
Chọn hệ trục tọa độ:
$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$
Trung điểm $H$ của $AB$: $H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$
Gọi $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$ vì $H$ là hình chiếu của $S$ lên đáy.
Tính $SD$: $SD^2 = \left(\dfrac{a}{2}-0\right)^2 + (0-a)^2 + h^2 = \dfrac{a^2}{4} + a^2 + h^2 = \dfrac{5a^2}{4} + h^2$
Theo đề: $SD = \dfrac{a\sqrt{17}}{2} \Rightarrow SD^2 = \dfrac{17a^2}{4}$
=> $\dfrac{5a^2}{4} + h^2 = \dfrac{17a^2}{4} \Rightarrow h^2 = 3a^2 \Rightarrow h = a\sqrt{3}$
⇒ $S\left(\dfrac{a}{2},0,a\sqrt{3}\right)$
Trung điểm $K$ của $AD$: $K\left(0,\dfrac{a}{2},0\right)$
Xét hai đường thẳng:
- $SD$: có vectơ chỉ phương $\vec{u} = \left(-\dfrac{a}{2}, a, -a\sqrt{3}\right)$
- $HK$: có vectơ chỉ phương $\vec{v} = \left(-\dfrac{a}{2}, \dfrac{a}{2}, 0\right)$
Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau:
$d = \dfrac{|[\vec{SH}, \vec{u}, \vec{v}]|}{|\vec{u} \times \vec{v}|}$
Với $\vec{SH} = \left(0,0,a\sqrt{3}\right)$
Tính tích có hướng:
$\vec{u} \times \vec{v} = \left(\dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}, \dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}, \dfrac{a^2}{4}\right)$
$|\vec{u} \times \vec{v}| = \dfrac{a^2\sqrt{7}}{2}$
Tích hỗn tạp: $[\vec{SH}, \vec{u}, \vec{v}] = \dfrac{a^3\sqrt{3}}{4}$
=> $d = \dfrac{\dfrac{a^3\sqrt{3}}{4}}{\dfrac{a^2\sqrt{7}}{2}} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{7}} = \dfrac{a\sqrt{21}}{14}$