Chọn A.

Dựng   SH ⊥ AC ,   do   ( SAC ) ⊥ ( ABC )   nên   SH ⊥ ( ABC ) ; AC = 2 a .     Dựng   HE ⊥ BC ; HF ⊥ SE ⇒ d ( H ; ( SBC ) ) = HF .     ΔSAC = ΔBCA ⇒ ΔSAC   vuông   tại   S .

Dễ   thấy   tan   ACB ^ =   1 3   ⇒   ACB ^   =   30 o   =   SAC ^ HC   =   SCcos 60 o   =   a 2 ;   HE   =   HCsin 30 o   = a 4 ;   SH   =   a 3 2 . Do   AC   =   4 HC   ⇒ d A = 4 d H = 4 . SH . HE SH 2 + HE 2 = 2 39 13 Do   đó   Sinα   = d A SA = 2 13 .

Đặt hệ trục tọa độ sao cho:

$B(0,0,0),\ C(a\sqrt3,0,0),\ A(0,a\sqrt3,0)$.

Vì $(SAC)\perp(ABC)$ nên mặt phẳng $(SAC)$ vuông góc với mặt phẳng $Oxy$. Suy ra điểm $S$ thuộc mặt phẳng đi qua $AC$ và vuông góc với $(ABC)$.

Ta đặt: $S(x,y,z)$.

Do: $SA=SB=a,\ SC=a$ nên:

$SB^2=x^2+y^2+z^2=a^2 \quad (1)$

$SC^2=(x-a\sqrt3)^2+y^2+z^2=a^2 \quad (2)$

Lấy $(2)-(1)$:

$-2a\sqrt3,x+3a^2=0 \Rightarrow x=\dfrac{a\sqrt3}{2}$.

Tương tự từ:

$SA^2=x^2+(y-a\sqrt3)^2+z^2=3a^2$ và $(1)$:

$-2a\sqrt3,y+3a^2=2a^2$

$\Rightarrow y=\dfrac{a\sqrt3}{6}$.

Thế vào $(1)$:

$\dfrac{3a^2}{4}+\dfrac{a^2}{12}+z^2=a^2$

$\Rightarrow z^2=\dfrac{a^2}{6}$.

Suy ra: $z=\dfrac{a}{\sqrt6}$.

Ta có:

$\vec{SA}=\left(-\dfrac{a\sqrt3}{2},\dfrac{5a\sqrt3}{6},-\dfrac{a}{\sqrt6}\right)$.

Trong mặt phẳng $(SBC)$:

$\vec{SB}=\left(-\dfrac{a\sqrt3}{2},-\dfrac{a\sqrt3}{6},-\dfrac{a}{\sqrt6}\right)$,

$\vec{SC}=\left(\dfrac{a\sqrt3}{2},-\dfrac{a\sqrt3}{6},-\dfrac{a}{\sqrt6}\right)$.

Vectơ pháp tuyến của $(SBC)$:

$\vec n=\vec{SB}\times\vec{SC}=(0,1,-\sqrt2)$.

Góc giữa $SA$ và $(SBC)$ thỏa:

$\sin\alpha=\dfrac{|\vec{SA}\cdot\vec n|}{|\vec{SA}||\vec n|}$.

Ta có:

$\vec{SA}\cdot\vec n=\dfrac{5a\sqrt3}{6}+\dfrac{a}{\sqrt3}=\dfrac{7a\sqrt3}{6}$,

$|\vec{SA}|=a\sqrt3$,

$|\vec n|=\sqrt3$.

Suy ra: $\sin\alpha=\dfrac{\dfrac{7a\sqrt3}{6}}{a\sqrt3\cdot\sqrt3}=\dfrac{7}{6\sqrt3}=\dfrac{\sqrt{13}}{13}$.

Vậy: $\boxed{\sin\alpha=\dfrac{\sqrt{13}}{13}}$.

Chọn đáp án C.

Đặt hệ trục tọa độ sao cho:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ C(a,a\sqrt3,0),\ D(0,a\sqrt3,0)$.

Vì $SA\perp(ABCD)$ và $SA=a$ nên:

$S(0,0,a)$.

Ta có:

$\vec{BD}=(-a,a\sqrt3,0)$.

Trong mặt phẳng $(SBC)$:

$\vec{SB}=(-a,0,a),\ \vec{BC}=(0,a\sqrt3,0)$.

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(SBC)$ là:

$\vec n=\vec{SB}\times\vec{BC}=(-a^2\sqrt3,0,-a^2\sqrt3)$.

Suy ra có thể lấy:

$\vec n=(1,0,1)$.

Góc giữa đường thẳng $BD$ và mặt phẳng $(SBC)$ là $\alpha$, khi đó:

$\sin\alpha=\dfrac{|\vec{BD}\cdot\vec n|}{|\vec{BD}||\vec n|}$.

Ta có:

$\vec{BD}\cdot\vec n=-a$,

$|\vec{BD}|=\sqrt{a^2+3a^2}=2a$,

$|\vec n|=\sqrt2$.

Suy ra: $\sin\alpha=\dfrac{a}{2a\sqrt2}=\dfrac{1}{2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{4}$.

Vậy: $\boxed{\sin\alpha=\dfrac{\sqrt2}{4}}$.

Chọn đáp án C.

Đáp án C

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp đều ∆ABD

Ta có 

Lại có d(H;(SBC)) = HK và 

Khoảng cách từ D →(SBC) là 

Vậy ∆ABD 

vì (C) đi qua điểm A nên tọa độ điểm A thỏa mãn pt \(y=\frac{ax^2-bx}{x-1}\) ta có \(\frac{5}{2}=\frac{a+b}{-2}\Rightarrow a+b=-5\)

vì tiếp tuyến của đồ thị tại điểm O có hệ số góc =-3 suy ra y'(O)=-3

ta có \(y'=\frac{ax^2-2ax+b}{\left(x-1\right)^2}\) ta có y'(O)=b=-3 suy ra a=-2

vậy ta tìm đc a và b

hoành độ giao điểm là nghiệm của pt

\(x^3+3x^2+mx+1=1\Leftrightarrow x\left(x^2+3x+m\right)=0\)

\(x=0;x^2+3x+m=0\)(*)

để (C) cắt y=1 tại 3 điểm phân biệt thì pt (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0

\(\Delta=3^2-4m>0\) và \(0+m.0+m\ne0\Leftrightarrow m\ne0\)

từ pt (*) ta suy ra đc hoành độ của D, E là nghiệm của (*)

ta tính \(y'=3x^2+6x+m\)

vì tiếp tuyến tại Dvà E vuông góc

suy ra \(y'\left(x_D\right).y'\left(x_E\right)=-1\)

giải pt đối chiếu với đk suy ra đc đk của m

Phương pháp:

- Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian, gắn hệ trục tọa độ gốc A và các trục tọa độ sao cho 

 - Sử dụng các công thức điểm, véc tơ, mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng để tính toán.

Cách giải:

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, giả sử ABCD là hình vuông cạnh l,

chiều cao hình chóp SH = h.

Áp dụng BĐT tam giác ta có:

a+b>c =>c-a<b =>c²-2ac+a²<b²

a+c>b =>b-c <a =>b²-2bc+c²<a²

b+c>a =>a-b<c =>a²-2ab+b²<c²

Suy ra: c²-2ac+a²+b²-2bc+c²+a²-2ab+b²<a²+b²+c²

<=>-2.(ab+bc+ca)+2.(a²+b²+c²)<a²+b²+c²

<=>-2(ab+bc+ca)<-(a²+b²+c²)

<=>2.(ab+bc+ca)<a²+b²+c²