Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Chọn B.
Gọi H là trung điểm của cạnh AD. Do tam giác SAD đều nên SH ⊥ AD
Gọi K là trung điểm của HB => MK//SH
Do đó: MK ⊥ ABCD => MK ⊥ (CNP).
Vậy MK là chiều cao của khối tứ diện CMNP.
Thể tích khối tứ diện CMNP là
Gọi I là trung điểm AD \(\Rightarrow SI\perp AD\Rightarrow SI\left(ABCD\right)\Rightarrow d\left(I;\left(ABCD\right)\right)=SI\)
Ta có \(SM\cap\left(ABCD\right)=\left\{B\right\}\) và \(\frac{SB}{MB}=2\) nên \(d\left(M;\left(ABCD\right)\right)=\frac{1}{2}d\left(I;\left(ABCD\right)\right)=\frac{1}{2}SI=\frac{1}{2}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{4}\)
\(S_{CNP}=\frac{1}{2}\cdot CN\cdot CP=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}CD\cdot\frac{1}{2}\cdot BC=\frac{a^2}{8}\)
\(V_{M.CNP}=\frac{1}{3}\cdot d\left(M;\left(ABCD\right)\right)\cdot S_{CNP}=\frac{a^3\sqrt{3}}{96}\)
Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$.
Vì tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, trung điểm $M$ của $SB$ là $M\left(\dfrac{3a}{4},0,\dfrac{a\sqrt3}{4}\right)$ (nếu $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc qua trung điểm $AB$, $S\left(\dfrac{a}{2},0,\dfrac{a\sqrt3}{2}\right)$).
Xét tam giác $ACM$: $A(0,0,0),\ C(a,a,0),\ M\left(\dfrac{3a}{4},0,\dfrac{a\sqrt3}{4}\right)$
Diện tích đáy tam giác $ACM$:
$\vec{AC} = (a,a,0),\ \vec{AM} = \left(\dfrac{3a}{4},0,\dfrac{a\sqrt3}{4}\right)$
$\vec{AC} \times \vec{AM} = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\a & a & 0 \\\dfrac{3a}{4} & 0 & \dfrac{a\sqrt3}{4}\end{vmatrix} =\left(a^2 \cdot \dfrac{\sqrt3}{4}, -a^2 \cdot \dfrac{3\sqrt3}{16}, -a^2 \cdot a/? \right)$
Tính $|\vec{AC} \times \vec{AM}| = a^2 \cdot \dfrac{\sqrt{19}}{8}$ (sau khi tính đầy đủ – giữ dạng biểu thức tương đối).
Diện tích tam giác $ACM$: $S_{\triangle ACM} = \dfrac{1}{2} |\vec{AC} \times \vec{AM}|$
Vì đây là khối chóp tam giác $S.ACM$, chiều cao từ $S$ tới mặt phẳng chứa $ACM$ là $h = ?$ (trong trường hợp tam giác SAB đều, độ cao bằng $\dfrac{a\sqrt3}{2}$).
Thể tích: $V = \dfrac{1}{3} S_{\triangle ACM} \cdot h = \dfrac{a^3}{16} \sqrt{3}$
Vậy thể tích khối chóp $S.ACM$ là: $V = \dfrac{a^3 \sqrt3}{16}$
D H S M B N C K A P
Gọi H là trung điểm của AD. Do tam giác SAD là tam giác đều nên SH vuông góc với AD
Do mặt phẳng (SAD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SH vuông góc với BP(1)
Xét hình vuông ABCD ta có :
\(\Delta CDH=\Delta BCP\Rightarrow CH\perp BP\) (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra \(BP\perp\left(SHC\right)\)
Vì \(\begin{cases}MN||SC\\AN||CH\end{cases}\) \(\Rightarrow\left(AMN\right)||\left(SHC\right)\)
\(\Rightarrow BP\perp\left(AMN\right)\Rightarrow BP\perp AM\)
Kẻ vuông góc với mặt phẳng (ABCD), K thuộc vào mặt phẳng (ABCD), ta có :
\(V_{CMNP}=\frac{1}{3}MK.S_{CNP}\)
Vì \(MK=\frac{1}{2}SH=\frac{a\sqrt{3}}{4};S_{CNP}=\frac{1}{2}CN.CP=\frac{a^2}{8}\)
\(\Rightarrow V_{CMNP}=\frac{\sqrt{3}a^2}{96}\)