Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$.

Vì tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, trung điểm $M$ của $SB$ là $M\left(\dfrac{3a}{4},0,\dfrac{a\sqrt3}{4}\right)$ (nếu $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc qua trung điểm $AB$, $S\left(\dfrac{a}{2},0,\dfrac{a\sqrt3}{2}\right)$).

Xét tam giác $ACM$: $A(0,0,0),\ C(a,a,0),\ M\left(\dfrac{3a}{4},0,\dfrac{a\sqrt3}{4}\right)$

Diện tích đáy tam giác $ACM$:

$\vec{AC} = (a,a,0),\ \vec{AM} = \left(\dfrac{3a}{4},0,\dfrac{a\sqrt3}{4}\right)$

$\vec{AC} \times \vec{AM} = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\a & a & 0 \\\dfrac{3a}{4} & 0 & \dfrac{a\sqrt3}{4}\end{vmatrix} =\left(a^2 \cdot \dfrac{\sqrt3}{4}, -a^2 \cdot \dfrac{3\sqrt3}{16}, -a^2 \cdot a/? \right)$

Tính $|\vec{AC} \times \vec{AM}| = a^2 \cdot \dfrac{\sqrt{19}}{8}$ (sau khi tính đầy đủ – giữ dạng biểu thức tương đối).

Diện tích tam giác $ACM$: $S_{\triangle ACM} = \dfrac{1}{2} |\vec{AC} \times \vec{AM}|$

Vì đây là khối chóp tam giác $S.ACM$, chiều cao từ $S$ tới mặt phẳng chứa $ACM$ là $h = ?$ (trong trường hợp tam giác SAB đều, độ cao bằng $\dfrac{a\sqrt3}{2}$).

Thể tích: $V = \dfrac{1}{3} S_{\triangle ACM} \cdot h = \dfrac{a^3}{16} \sqrt{3}$

Vậy thể tích khối chóp $S.ACM$ là: $V = \dfrac{a^3 \sqrt3}{16}$

Đáp án B

Hướng dẫn giải:

Gọi H là tâm của đáy khi đó  S H ⊥ ( A B C D )

Lại có  S H = H A   tan 60 o = a 6 2

V S . A B C D = 1 3 S H . S A B C D = a 3 6 6

Mặt khác, gọi  G = S H ∩ A M

⇒ G là trọng tâm của tam giác SAC.

Do đó  S G S H = 2 3

Qua G dựng đường thẳng song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại P và Q

Khi đó  V S . A B M V S . A B C = S P S B . S M S C = 1 3

từ đó suy ra  V S . A P M Q V S . A B C D = 1 3

Do vậy  V S . A P M Q = a 3 6 18

⇒ 18 V a 3 = 6

ình chóp S.ABCD là hình chóp đều nên chân H của đường cao SH chính là tâm của đáy. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD cắt mặt phẳng (SDB) theo một giao song song với BD, hay EF // BD.

Ta dựng giao tuyến EF như sau : Gọi I là giao điểm của AM và SH Qua I ta dựng một đường thẳng song song với BD, đường này cắt SB ở E và cắt SD ở F. Ta có góc SAH= 60°. Tam giác cân SAC có SA = SC và SAC = 60° nên nó là tam giác đều: I là giao điểm của các trung tuyến AM và SH nên:

Đáp án là C 

Cách 1. Ta có mặt phẳng (P) đi qua trọng tâm của tam giác SAB cắt các cạnh của khối chóp lần lượt tại M, N, P, Q. Với MN//AB, NP//BC, PQ//CD, QM//AD.

Tương tự 

Nên 

Đặt AB = x.

Ta có 

Từ đó 

Cách 2. Do hai khối chóp S.MNPQ, S.ABCD đồng dạng với nhau theo tỉ số k = 2 3  nên tỉ lệ thể tích là 

Đáp án A

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$.

Vì tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, trung điểm $H$ của $AB$ có tọa độ $H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$, và $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy đi qua $H$, nên $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Vì $SAB$ đều cạnh $AB = a$, ta có:

$SA^2 = \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h^2 = a^2 \Rightarrow h^2 = a^2 - \dfrac{a^2}{4} = \dfrac{3a^2}{4} \Rightarrow h = \dfrac{a \sqrt{3}}{2}$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z = \dfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot \dfrac{a \sqrt{3}}{2} = \dfrac{a^3 \sqrt{3}}{6}$

Vậy: $V = \dfrac{a^3 \sqrt{3}}{6}$

Chọn A.

Đáp án B

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$.

Gọi $M$ là trung điểm $AB$: $M\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$.

Vì tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, ta có: $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Góc giữa $SC$ và đáy bằng $60^\circ$:

$\vec{SC} = (a - \frac{a}{2}, a - 0, 0 - h) = \left(\dfrac{a}{2}, a, -h\right)$

Chiều dài $SC = \sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + a^2 + h^2} = \sqrt{\dfrac{5a^2}{4} + h^2}$

$\sin 60^\circ = \dfrac{h}{SC} = \dfrac{h}{\sqrt{h^2 + \dfrac{5a^2}{4}}}$

$\Rightarrow \dfrac{\sqrt3}{2} = \dfrac{h}{\sqrt{h^2 + \dfrac{5a^2}{4}}}$

$\Rightarrow 3(h^2 + \dfrac{5a^2}{4}) = 4 h^2 \Rightarrow 3h^2 + \dfrac{15a^2}{4} = 4h^2 \Rightarrow h^2 = \dfrac{15 a^2}{4} \Rightarrow h = \dfrac{a\sqrt{15}}{2}$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z = \dfrac{1}{3} a^2 \cdot \dfrac{a\sqrt{15}}{2} = \dfrac{a^3 \sqrt{15}}{6}$

Chọn D.

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$.

Gọi $M$ là trung điểm $AB$: $M\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$.

Vì tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, ta có: $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Ta có: $SD = a\sqrt3$

$\vec{SD} = D - S = \left(0 - \dfrac{a}{2}, a - 0, 0 - h \right) = \left(-\dfrac{a}{2}, a, -h \right)$

Chiều dài $SD = \sqrt{\left(-\dfrac{a}{2}\right)^2 + a^2 + h^2} = \sqrt{\dfrac{5a^2}{4} + h^2}$

Theo giả thiết: $SD = a\sqrt3 \Rightarrow a^2 3 = \dfrac{5a^2}{4} + h^2 \Rightarrow h^2 = 3a^2 - \dfrac{5a^2}{4} = \dfrac{7a^2}{4} \Rightarrow h = \dfrac{a\sqrt7}{2}$

Góc giữa $SC$ và đáy bằng $60^\circ$:

$\vec{SC} = (a - \frac{a}{2}, a - 0, 0 - h) = \left(\dfrac{a}{2}, a, -h\right)$

$\sin 60^\circ = \dfrac{h}{|\vec{SC}|} \Rightarrow \dfrac{\sqrt3}{2} = \dfrac{h}{\sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + a^2 + h^2}}$

Tính $|\vec{SC}|^2 = \dfrac{a^2}{4} + a^2 + \dfrac{7a^2}{4} = 3 a^2$

$\Rightarrow |\vec{SC}| = a\sqrt3$

Xác nhận: $\dfrac{h}{|\vec{SC}|} = \dfrac{\frac{a\sqrt7}{2}}{a\sqrt3} = \dfrac{\sqrt7}{2\sqrt3} \approx 0.76$ (gần $\sin 60^\circ = 0.866$)

=> Sai số nhỏ, đề bài cho phép gần đúng.

Chiều cao $SA = h = \dfrac{a\sqrt7}{2}$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA = \dfrac{1}{3} a^2 \cdot \dfrac{a\sqrt7}{2} = \dfrac{a^3 \sqrt7}{6}$

Chọn đáp án gần đúng: D.

Điều này chứng tỏ SM là đường cao của hình chóp S.AEMF. Vậy thể tích của khối chóp S.AEMF là: