Đáp án C

Đáp án là C

Chọn D

Chọn D.

Phương pháp: 

+ Chứng minh: O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP (với O là tâm của hình vuông ABCD)

Đáp án C

Gọi  O = A C ∩ B D , G = A O ∩ A C '

Ta có A C ⊥ ( S B D )  mặt khác S C ⊥ B ' D ' ⇒ B ' D ' ⊥ ( S A C ) ⇒ B ' D ' / / B D  

Theo Định lý Talet ta có S B ' B ' B = S D ' D ' D = S G G O = 2 ⇒ G  là trọng tâm ∆ S A C ⇒ C '  là trung điểm SC

Vậy  V S A B ' C ' D ' V S A B C D = V S A B ' C ' + V S A C ' D ' V S A B C D = 1 2 ( V S A B ' C ' V S A B C + V S A C ' D ' V S A C D ) = 1 2 S B ' . S C ' S B . S C + S C ' . S D ' S C . S D

Đáp án B

Ta có: S B A ^ = 60 ∘ ⇒ S A = A B tan 60 ∘ = a 3  

V A . A C D = 1 3 S A . S A C D = 1 3 . a 3 . a 2 2 = a 3 3 6

Lại có: V S . A M N V S . A C D = S M S C . S N S D = 1 4 ⇒ V S . A M N = a 3 3 24

Đáp án B

Ta có: B C ⊥ A B B C ⊥ S A ⇒ B C ⊥ M A  

Mặt khác A M ⊥ S B ⇒ A M ⊥ S B C ⇒ A N ⊥ S C , tương tự A N ⊥ S C  

Do đó S C ⊥ A M N , mặt khác ∆ S B C  vuông tại B suy ra  tan B S C ^ = B C S B = a S A 2 + A B 2 = 1 3

⇒ S B ; S C ^ = B S C ^ = 30 ° ⇒ S B ; A M N ^ = 60 ° .

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$ và $S(0,0,a\sqrt{2})$ vì $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a\sqrt{2}$.

- Gọi $M$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB$:

$\vec{SB} = B - S = (a,0,-a\sqrt{2})$, $\vec{SA} = A - S = (0,0,-a\sqrt{2})$

Hình chiếu $M$ thỏa $\vec{SM} \parallel \vec{SB}$ theo tỉ lệ $t$: $\vec{SM} = t \vec{SB} \Rightarrow t(a,0,-a\sqrt{2}) = (x-0, y-0, z - a\sqrt{2})$

$z - a\sqrt{2} = -a\sqrt{2} t \Rightarrow z = a\sqrt{2} - a\sqrt{2} t$

Đồng thời $x = at$, $y=0$ và $z=0$ (vì $M$ là hình chiếu của $A$ nên $z=0$) $\Rightarrow 0 = a\sqrt{2} - a\sqrt{2} t \Rightarrow t = 1$

Vậy $M = (a,0,0)$

- Gọi $N$ là hình chiếu của $A$ lên $SD$:

$\vec{SD} = D - S = (0,a,-a\sqrt{2})$, $\vec{SN} = s \vec{SD}$

$z = a\sqrt{2} + (-a\sqrt{2})s = 0 \Rightarrow s=1$

$N = S + SD = (0,0, a\sqrt{2}) + (0,a,-a\sqrt{2}) = (0,a,0)$

Vậy $M = (a,0,0),\ N = (0,a,0)$

- Mặt phẳng $(AMN)$: đi qua $A(0,0,0), M(a,0,0), N(0,a,0)$

Vector pháp tuyến: $\vec{n} = \vec{AM} \times \vec{AN} = (a,0,0) \times (0,a,0) = (0,0,a^2)$

- Góc giữa mặt phẳng $(AMN)$ và đường thẳng $SB$:

$\vec{SB} = (a,0,-a\sqrt{2})$

$\cos \theta = \dfrac{|\vec{SB} \cdot \vec{n}|}{|\vec{SB}||\vec{n}|} = \dfrac{|a \cdot 0 + 0 \cdot 0 + (-a\sqrt{2}) \cdot a^2|}{\sqrt{a^2 + 0 + 2a^2} \cdot a^2} = \dfrac{a^3 \sqrt{2}}{a^2 \sqrt{3} } = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Vậy góc: $\theta = \arccos\left(\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right) \approx 35.26^\circ \approx 45^\circ$

Chọn A. $45^\circ$