a.

Do AB song song DC nên góc giữa SC và AB là góc giữa SC và CD, cùng là góc SCD

Áp dụng định lý hàm cosin:

\(cos\widehat{SCD}=\dfrac{SC^2+CD^2-SD^2}{2SC.CD}=\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow\widehat{SCD}\approx75^031'\)

b.

Gọi O là tâm đáy, do chóp có đáy là hình vuông và các cạnh bên bằng nhau nên chóp là chóp đều

\(\Rightarrow SO\perp\left(ABCD\right)\)

\(\Rightarrow\Delta OAB\) là hình chiếu vuông góc của SAB lên (ABCD)

\(OA=OB=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}\sqrt{AB^2+BC^2}=a\)

Mặt khác OA vuông góc OB (2 đường chéo hình vuông)

\(\Rightarrow S_{OAB}=\dfrac{1}{2}OA.OB=\dfrac{a^2}{2}\)

Chọn đáp án A

+ Ta có

nên K là trọng tâm của tam giác BCD

+ Ta dễ dàng chứng minh được SH  ⊥ (BKH) ⇒ SB, (BKH) = SBH

a) Gọi O là tâm hình vuông ABCD , dễ thấy I, O, K thẳng hàng. Vì K là trung điểm của BC nên SK ⊥ BC.

Ta có 

Do đó (SBC) ⊥ (SIK)

b) Hai đường thẳng AD và SB chéo nhau. Ta có mặt phẳng (SBC) chứa SB và song song với AD. Do đó khoảng cách giữa AD và SB bằng khoảng cách giữa AD và mặt phẳng (SBC).

Theo câu a) ta có (SIK) ⊥ (SBC) theo giao tuyến SK và khoảng cách cần tìm là IM, trong đó M là chân đường vuông góc hạ từ I tới SK. Dựa vào hệ thức IM. SK = SO. IK

ta có 

Ta lại có:

Do đó:

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB là bằng 

a)

Ta có $ABCD$ là hình vuông nên:
$AD \parallel BC$.

Gọi $I,\ K$ lần lượt là trung điểm của $AD,\ BC$ nên:
$IK \parallel AB$.

Mặt khác:
$SA = SB = SC = SD$ nên $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với $(ABCD)$ tại tâm $O$ của hình vuông.

Suy ra:
$SO \perp (ABCD)$.

Do đó:
$SO \perp IK$ và $SO \perp BC$.

Xét hai mặt phẳng $(SIK)$ và $(SBC)$:

Ta có:
$IK \parallel AB \perp BC$ nên:
$IK \perp BC$.

Mặt khác:
$SO \perp BC$.

Suy ra:
$BC \perp (SIK)$.

Mà $BC \subset (SBC)$ nên:
$(SIK) \perp (SBC)$.

b)

Ta cần tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AD$ và $SB$.

Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$.

Ta có:
$SO \perp (ABCD)$ nên $SO \perp AD$.

Xét mặt phẳng $(SBD)$:

Ta có $AD \perp BD$ và $AD \perp SO$ nên:
$AD \perp (SBD)$.

Suy ra khoảng cách giữa $AD$ và $SB$ chính là khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBD)$.

Tính:

Trong tam giác vuông $SBD$:

$BD = a\sqrt{2}$, $SB = a\sqrt{2}$, $SD = a\sqrt{2}$
$\Rightarrow \triangle SBD$ đều.

Diện tích:
$S_{SBD} = \dfrac{\sqrt{3}}{4}(a\sqrt{2})^2 = \dfrac{\sqrt{3}}{2}a^2$.

Thể tích khối chóp:
$V = \dfrac{1}{3}S_{SBD} \cdot h$ với $h = d(A,(SBD))$.

Mặt khác:
$V = \dfrac{1}{3}S_{ABCD}\cdot SO = \dfrac{1}{3}a^2 \cdot SO$.

Tính $SO$:

$OA = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$

$SO^2 = SA^2 - OA^2 = 2a^2 - \dfrac{a^2}{2} = \dfrac{3a^2}{2}$

$\Rightarrow SO = a\sqrt{\dfrac{3}{2}}$.

Suy ra:
$V = \dfrac{1}{3}a^2 \cdot a\sqrt{\dfrac{3}{2}} = \dfrac{a^3\sqrt{6}}{6}$.

Do đó:
$\dfrac{1}{3}S_{SBD} \cdot d = V$

$\Rightarrow d = \dfrac{3V}{S_{SBD}} = \dfrac{3 \cdot \dfrac{a^3\sqrt{6}}{6}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}a^2}$

$= \dfrac{a\sqrt{6}}{2} \cdot \dfrac{2}{\sqrt{3}} = a\sqrt{2}$.

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0), B(2a,0,0), C(2a,a,0), D(0,a,0)$

Hình chiếu vuông góc $H$ của $S$ xuống đáy là trung điểm $AB$:

$H = (a,0,0)$ ⇒ $S = (a,0,h)$

Đường thẳng $SC$ tạo với mặt phẳng đáy góc $60^\circ$:

$\tan 60^\circ = \dfrac{SA_z}{\sqrt{(C_x - S_x)^2 + (C_y - S_y)^2}} = \dfrac{h}{\sqrt{(2a - a)^2 + (a - 0)^2}} = \dfrac{h}{\sqrt{a^2 + a^2}} = \dfrac{h}{a \sqrt{2}}$

Vậy $h = a \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = a \sqrt{6}$

Vector:

$\vec{SB} = B - S = (2a - a, 0 - 0, 0 - a\sqrt{6}) = (a,0,-a\sqrt{6})$

$\vec{AC} = C - A = (2a - 0, a - 0, 0 - 0) = (2a, a, 0)$

Góc giữa hai đường thẳng:

$\cos \theta = \dfrac{\vec{SB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{SB}| |\vec{AC}|}$

Tính:

$\vec{SB} \cdot \vec{AC} = a\cdot 2a + 0\cdot a + (-a\sqrt{6})\cdot 0 = 2a^2$

$|\vec{SB}| = \sqrt{a^2 + 0 + 6a^2} = \sqrt{7} a$

$|\vec{AC}| = \sqrt{(2a)^2 + a^2 + 0} = \sqrt{5} a$

$\cos \theta = \dfrac{2a^2}{a \sqrt{7} \cdot a \sqrt{5}} = \dfrac{2}{\sqrt{35}}$

Vậy góc giữa hai đường thẳng $SB$ và $AC$ là:

$\theta = \arccos\left(\dfrac{2}{\sqrt{35}}\right)$

Sửa đề; SA=SB=SC=SD=2a

SA=SB

OA=OB

=>SO là trung trực của AB

=>SO vuông góc AB(2)

SA=SD

OA=OD

=>SO là trung trực của AD
=>SO vuông góc AD(1)

Từ (1), (2) suy ra SO vuông góc (ABCD)

(SC;(ABCD))=(CS;CO)=góc SCO

\(OC=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)

\(SO=\sqrt{SA^2+AO^2}\)

\(=\sqrt{\left(2a\right)^2+\left(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\sqrt{4a^2+\dfrac{1}{2}a^2}=\dfrac{3}{\sqrt{2}}a\)

\(SC=\sqrt{SO^2+OC^2}=\sqrt{\dfrac{9}{2}a^2+\dfrac{1}{2}a^2}=a\sqrt{5}\)

\(cosSCO=\dfrac{OC}{SC}\)

\(=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}:a\sqrt{5}=\dfrac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}\)

=>\(\widehat{SCO}\simeq72^0\)

=>\(\left(SC;\left(ABCD\right)\right)=72^0\)

S A B C D H O K I L T

a) SA vuông góc với (ABCD) => SA vuông góc AD; hình thang ABCD vuông tại A => AD vuông góc AB

=> AD vuông góc (SAB), mà AD nằm trong (SAD) nên (SAB) vuông góc (SAD).

b) AD vuông góc (SAB), BC || AD => BC vuông góc (SAB) => B là hc vuông góc của C trên (SAB)

=> (SC,SAB) = ^CAB

\(SB=\sqrt{AS^2+AB^2}=\sqrt{2a^2+a^2}\)\(=a\sqrt{3}\)

\(\tan\widehat{CAB}=\frac{BC}{SB}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)=> (SC,SAB) = ^CAB = 30⁰.

c) T là trung điểm của AD, K thuộc ST sao cho AK vuông góc ST, BT cắt AC tại O, HK cắt AO tại I, AI cắt SC tại L.

BC vuông góc (SAB) => BC vuông góc AH, vì AH vuông góc SB nên AH vuông góc SC. Tương tự AK vuông góc SC

=> SC vuông góc (HAK) => SC vuông góc AI,AL. Lập luận tương tự thì AL,AI vuông góc (SCD).

Dễ thấy \(\Delta\)SAB = \(\Delta\)SAT, chúng có đường cao tương ứng AH và AK => \(\frac{HS}{HB}=\frac{KS}{KT}\)=> HK || BT || CD

=> d(H,SCD) = d(I,SCD) = IL (vì A,I,L vuông góc (SCD)) = \(\frac{IL}{AL}.AL=\frac{CO}{CA}.\frac{SI}{SO}.AL=\frac{1}{2}.\frac{SH}{SB}.\frac{AS.AC}{\sqrt{AS^2+AC^2}}\)

\(=\frac{1}{2}.\frac{SA^2}{SA^2+SB^2}.\frac{AS.AC}{\sqrt{AS^2+AC^2}}=\frac{1}{2}.\frac{2a^2}{2a^2+a^2}.\frac{a\sqrt{2}.a\sqrt{2}}{\sqrt{2a^2+2a^2}}=\frac{a}{3}\)