- Xác định góc \(\alpha\) giữa SC và mặt phẳng (SAB)

\(\left\{{}\begin{matrix}S\in\left(SAB\right)\\CB\perp\left(SAB\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[\widehat{SC,\left(SAB\right)}\right]=\widehat{CSB}=\alpha\)

- Tính góc \(\alpha\) :

Trong tam giác vuông \(SBC\), ta có :

\(\tan\alpha=\dfrac{BC}{SB}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow\alpha=30^0\)

Từ A kẻ \(AE\perp SB\) (\(E\in SB\))

\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BC\\AB\perp BC\left(gt\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\)

\(\Rightarrow BC\perp AE\)

\(\Rightarrow AE\perp\left(SBC\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{ACE}\) là góc giữa AC và (SBC)

Hệ thức lượng trong tam giác SAB:

\(\dfrac{1}{AE^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AB^2}\Rightarrow AE=\dfrac{SA.AB}{\sqrt{SA^2+AB^2}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

\(AC=AB\sqrt{2}=a\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow sin\widehat{ACE}=\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{\sqrt{6}}{4}\)

Bài 1:

a: BC⊥BA(ΔABC vuông tại B)

BC⊥ SA(SA⊥(ABC))

mà BA,SA cùng thuộc mp(SAB)

nên BC⊥(SAB)

=>(SBC)⊥(SAB)

b: ΔABC vuông tại B

=>\(BA^2+BC^2=AC^2\)

=>\(BA^2=\left(a\sqrt3\right)^2-a^2=3a^2-a^2=2a^2\)

=>\(BA=a\sqrt2\)

(SBC) giao (ABC)=BC

AB⊥BC; SB⊥ BC

Do đó: \(\hat{\left(SBC\right);\left(ABC\right)}=\hat{AB;SB}=\hat{SBA}\)

Xét ΔSAB vuông tại A có tan SBA=\(\frac{SA}{AB}=\frac{a\sqrt6}{a\sqrt2}=\sqrt3\)

nên \(\hat{SBA}=60^0\)

=>\(\hat{\left(SBC\right);\left(ABC\right)}=60^0\)

Bài 2:

a: BD⊥AC(ABCD là hình vuông)

BD⊥ SA(SA⊥(ABCD))

mà SA,AC cùng thuộc mp(SAC)

nên BD⊥(SAC)

=>(SAC)⊥(SBD)

\(\left\{{}\begin{matrix}BC\perp SA\subset\left(SAB\right)\\BC\perp AB\subset\left(SAB\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\Rightarrow BC\perp SB\)

\(\left\{{}\begin{matrix}BC\perp SB\\BC\perp AB\\\left(SBC\right)\cap\left(ABCD\right)=BC\end{matrix}\right.\Rightarrow\left(\left(SBC\right),\left(ABCD\right)\right)=\widehat{SBA}\)

\(\tan\widehat{SBA}=\dfrac{SA}{AB}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3.a}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow\widehat{SBA}=30^0\)