Đáp án A

Ta có:  R S A B C D = S A 2 4 + r 2 d = S A 2 + A B 2 + A C 2 2 = 13 a 2 .

Chọn C

Đáp án đúng : C

Ta có A D C ^ = A B C ^ = 60 ° , suy ra tam giác ADC là tam giác đều cạnh a. Gọi N là trung điểm cạnh DC, G là trọng tâm của tam giác ABC. Ta có  A N = a 3 2 ;   A G = a 3 3

Trong mặt phẳng (SAN), kẻ đường thẳng Gx//SA, suy ra Gx là trục của tam giác ADC.

Gọi M là trung điểm cạnh SA. Trong mặt phẳng (SAN) kẻ trung trực của SA cắt Gx tại I thì IS=IA=ID=IC nên I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ACD. Bán kính R của mặt cầu bằng độ dài đoạn IA.

Trong tam giác AIG vuông tại G, ta có:

Đáp án D.

Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ nên:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 = a^2 + (a\sqrt3)^2 = a^2 + 3a^2 = 4a^2 \Rightarrow AC = 2a$.

Do $SA \perp (ABC)$ nên tam giác $SAC$ vuông tại $A$, suy ra:

$SC^2 = SA^2 + AC^2 = (2a\sqrt3)^2 + (2a)^2 = 12a^2 + 4a^2 = 16a^2 \Rightarrow SC = 4a$.

Xét tam giác $SBC$: $SB^2 = SA^2 + AB^2 = 12a^2 + a^2 = 13a^2$,

$BC = a\sqrt3 \Rightarrow BC^2 = 3a^2$.

Ta có: $SB^2 + BC^2 = 13a^2 + 3a^2 = 16a^2 = SC^2$.

Suy ra $\triangle SBC$ vuông tại $B$, nên tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm của $SC$.

Bán kính: $R = \dfrac{SC}{2} = \dfrac{4a}{2} = 2a$.

Vậy $R = 2a$.

Chọn đáp án D.

Chọn D

Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ nên:

$AB = AC = a \Rightarrow BC = a\sqrt2$.

Do $SA \perp (ABC)$ nên tam giác $SBC$ vuông tại $A$, suy ra:

$SC^2 = SA^2 + AC^2 = (2a)^2 + a^2 = 5a^2 \Rightarrow SC = a\sqrt5$.

Mặt khác: $SB^2 = SA^2 + AB^2 = 4a^2 + a^2 = 5a^2 \Rightarrow SB = a\sqrt5$.

Xét tam giác $SBC$:

$SB^2 + BC^2 = 5a^2 + 2a^2 = 7a^2 \ne SC^2$.

Xét tam giác $SAB$:

$SA \perp AB \Rightarrow \triangle SAB$ vuông tại $A$.

Xét tam giác $SAC$:

$SA \perp AC \Rightarrow \triangle SAC$ vuông tại $A$.

Do đó $A$ cách đều $S,B,C$ nên $A$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp.

Bán kính: $R = SA = 2a$.

Vậy $R = 2a$.

Chọn đáp án B.

Đặt hệ trục tọa độ $Oxyz$ trong mặt phẳng đáy.

Chọn: $A(-a,0,0),\; D(a,0,0) \quad (AD = 2a)$

Vì $AB = BC = a$ và $ABCD$ là hình thang cân nên đặt:

$B\left(-\frac{a}{2},h,0\right),\; C\left(\frac{a}{2},h,0\right)$

Ta có: $AB^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2 = a^2$

$\Rightarrow h^2 = \frac{3a^2}{4}$

$\Rightarrow h = \frac{\sqrt3}{2}a$

Suy ra: $B\left(-\frac{a}{2},\frac{\sqrt3}{2}a,0\right),\;C\left(\frac{a}{2},\frac{\sqrt3}{2}a,0\right)$

Vì $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a\sqrt2$ nên: $S(-a,0,a\sqrt2)$

Gọi $O(0,y,z)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp.

Ta có: $OA^2 = OB^2$

$OA^2 = a^2 + y^2 + z^2$

$OB^2 = \frac{a^2}{4} + \left(\frac{\sqrt3}{2}a - y\right)^2 + z^2$

Suy ra: $a^2 + y^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} - \sqrt3 ay + y^2$

$\Rightarrow a^2 = a^2 - \sqrt3 ay$

$\Rightarrow y = 0$

Tiếp theo:

$OA^2 = OS^2$

$a^2 + z^2 = a^2 + (z - a\sqrt2)^2$

$\Rightarrow z^2 = z^2 - 2a\sqrt2 z + 2a^2$

$\Rightarrow 2a\sqrt2 z = 2a^2$

$\Rightarrow z = \frac{a}{\sqrt2}$

Bán kính mặt cầu: $R = OA = \sqrt{a^2 + \left(\frac{a}{\sqrt2}\right)^2}$

$= \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{2}}$

$= a\sqrt{\frac{3}{2}}$

$= \frac{a\sqrt6}{2}$

$\boxed{R = \frac{a\sqrt6}{2}}$

Chọn D.