Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0), B(a,0,0), D(0,b,0), C(a,b,0)$, với $b$ chưa biết.

Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, giả sử $S(0,0,h)$.

Vector $SC = C - S = (a,b,-h)$

Góc giữa $SC$ và mặt phẳng đáy $(ABCD)$ là $45^\circ$, nên:

$\tan 45^\circ = \dfrac{|SC_z|}{\sqrt{SC_x^2 + SC_y^2}} = \dfrac{h}{\sqrt{a^2 + b^2}} = 1 \Rightarrow h = \sqrt{a^2 + b^2}$

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp: $R = a\sqrt{2}$

Vì $SA \perp$ đáy và theo góc 45$^\circ$, ta có:

$h = 2a$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = AB \cdot AD = a \cdot b$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA = \dfrac{1}{3} \cdot a \cdot b \cdot h = \dfrac{1}{3} \cdot a \cdot b \cdot 2a = \dfrac{2 a^2 b}{3}$

Từ $\tan 45^\circ = h / \sqrt{a^2 + b^2} = 1 \Rightarrow \sqrt{a^2 + b^2} = h = 2a \Rightarrow a^2 + b^2 = 4a^2 \Rightarrow b^2 = 3a^2 \Rightarrow b = a \sqrt{3}$

Vậy thể tích:

$V = \dfrac{2 a^2 \cdot a \sqrt{3}}{3} = \dfrac{2 a^3 \sqrt{3}}{3}$

Chọn đáp án D

Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD và I là trung điểm của SC. Khi đó OI  ⊥ (ABCD)

⇒ IA = IB = IC = ID với ∆ S A C  vuông tại A, IA = IS = IC. Do đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD suy ra IA = a 2 ⇒ SC = 2a 2 . Mặt khác AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABCD).

Suy ra ∆ S A C  vuông cân

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0), B(a,0,0), D(0,b,0), C(a,b,0)$, với $b$ chưa biết.

Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, giả sử $S(0,0,h)$.

Góc giữa $SC$ và mặt phẳng đáy $(ABCD)$ là $45^\circ$, nên:

$\tan 45^\circ = \dfrac{SA}{\sqrt{AB^2 + AD^2}} = \dfrac{h}{\sqrt{a^2 + b^2}} = 1 \Rightarrow h = \sqrt{a^2 + b^2}$

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp: $R = \dfrac{\sqrt{SA^2 + AC^2}}{2}$, với $AC = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{a^2 + b^2}$

Vì $R = a\sqrt{2} \Rightarrow \dfrac{\sqrt{h^2 + (a^2 + b^2)}}{2} = a \sqrt{2} \Rightarrow \sqrt{h^2 + (a^2 + b^2)} = 2 a \sqrt{2}$

Thay $h^2 = a^2 + b^2 \Rightarrow \sqrt{a^2 + b^2 + a^2 + b^2} = \sqrt{2(a^2 + b^2)} = 2 a \sqrt{2} \Rightarrow a^2 + b^2 = 4 a^2 \Rightarrow b^2 = 3 a^2 \Rightarrow b = a \sqrt{3}$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = AB \cdot AD = a \cdot b = a \cdot a \sqrt{3} = a^2 \sqrt{3}$

Chiều cao $SA = h = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{a^2 + 3 a^2} = \sqrt{4 a^2} = 2 a$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA = \dfrac{1}{3} \cdot a^2 \sqrt{3} \cdot 2 a = \dfrac{2 a^3 \sqrt{3}}{3}$

Chọn D.

Áp dụng công thức tìm nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp R 2 = x 2 + r 2 với

r là bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

x = S O 2 - r 2 2 h : S là đỉnh hình chóp , O là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy, h là chiều cao hình chóp

Cụ thể vào bài toán:

Đáy là tam giác CMN vuông tại C

Tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN là trung điểm MN

Áp dụng công thức đường trung tuyến trong tam giác HMN tính được  H O 2 = 5 a 2 8

Trong tam giác vuông SHO có

Gọi $ABCD$ là hình chữ nhật, giả sử $AC = 2a$ là đường chéo.

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0), C(2a,0,0)$, cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và $SA = 2a$, nên $S(0,0,2a)$.

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD bằng nửa khoảng cách giữa hai đỉnh đối nhau lớn nhất của chóp, tức:

$R = \dfrac{\sqrt{SA^2 + AC^2}}{2}$

Thay $SA = 2a$, $AC = 2a$, ta có:

$R = \dfrac{\sqrt{(2a)^2 + (2a)^2}}{2} = \dfrac{\sqrt{4a^2 + 4a^2}}{2} = \dfrac{\sqrt{8 a^2}}{2} = \dfrac{2 a \sqrt{2}}{2} = a \sqrt{2}$

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a\sqrt{3},0,0),\ D(0,a,0),\ C(a\sqrt{3},a,0)$.

Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, giả sử $S(0,0,h)$.

Vector $\vec{SB} = B-S = (a\sqrt{3},0,-h)$

Vector $\vec{SC} = C-S = (a\sqrt{3},a,-h)$

Góc giữa mặt phẳng $(SBC)$ và đáy $(ABCD)$ là $60^\circ$.

Vector pháp tuyến của $(SBC)$:

$\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SC} = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\a\sqrt{3} & 0 & -h \\a\sqrt{3} & a & -h\end{vmatrix} = (0\cdot(-h)-(-h)\cdot a, -((a\sqrt{3})(-h)-(-h)(a\sqrt{3})), (a\sqrt{3})(a)-0(a\sqrt{3})) = (ah, 0, a^2\sqrt{3})$

Chiều cao $h$ theo góc với đáy:

$\tan 60^\circ = \dfrac{|n_z|}{\sqrt{n_x^2+n_y^2}} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{\sqrt{(ah)^2+0^2}} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{ah} = \dfrac{a\sqrt{3}}{h}$

Vì $\tan 60^\circ = \sqrt{3} \Rightarrow \dfrac{a\sqrt{3}}{h} = \sqrt{3} \Rightarrow h = a$

Diện tích đáy:

$S_{ABCD} = AB \cdot AD = a\sqrt{3} \cdot a = 3a^2$

Thể tích khối chóp:

$V_{\text{chóp}} = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA = \dfrac{1}{3} \cdot 3a^2 \cdot a = a^3$

Khối cầu ngoại tiếp khối chóp có bán kính $R = \dfrac{\sqrt{SA^2 + AC^2}}{2}$, với $AC = \sqrt{(a\sqrt{3})^2 + a^2} = \sqrt{3a^2 + a^2} = 2a$

Vậy bán kính:

$R = \dfrac{\sqrt{SA^2 + AC^2}}{2} = \dfrac{\sqrt{a^2 + (2a)^2}}{2} = \dfrac{\sqrt{5a^2}}{2} = \dfrac{a\sqrt{5}}{2}$

Thể tích khối cầu:

$V_{\text{cầu}} = \dfrac{4}{3} \pi R^3 = \dfrac{4}{3} \pi \left(\dfrac{a\sqrt{5}}{2}\right)^3 = \dfrac{4}{3} \pi \cdot \dfrac{5\sqrt{5} a^3}{8} = \dfrac{5\sqrt{5} \pi a^3}{6}$