(SD;(ABCD))=(DS;DA)=góc SDA

tan SDA=SA/AD=3/2

=>góc SDA=56 độ

ĐÁP ÁN: D

Đặt hệ trục tọa độ: Chọn $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,2a,0),\ C(a,2a,0)$.

Vì $SA \perp (ABCD)$ nên đặt $S(0,0,h)$.

Xét cạnh $SD$:

$\vec{SD} = (0,2a,-h),\ SD = \sqrt{(2a)^2 + h^2} = \sqrt{4a^2 + h^2}$.

Góc giữa $SD$ và đáy là $60^\circ$ nên:
$\sin 60^\circ = \dfrac{SA}{SD} \Rightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{h}{\sqrt{4a^2 + h^2}}$.

Giải ra:

$\dfrac{3}{4} = \dfrac{h^2}{4a^2 + h^2} \Rightarrow 3(4a^2 + h^2) = 4h^2$

$\Rightarrow 12a^2 + 3h^2 = 4h^2 \Rightarrow h^2 = 12a^2 \Rightarrow h = 2a\sqrt{3}$.

⇒ $S(0,0,2a\sqrt{3})$.

Xét mặt phẳng $(SBD)$:

$\vec{SB} = (a,0,-2a\sqrt{3}),\ \vec{SD} = (0,2a,-2a\sqrt{3})$.

Vectơ pháp tuyến:
$\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SD} = (4a^2\sqrt{3},\ 2a^2\sqrt{3},\ 2a^2)$.

Khoảng cách từ $A$ đến $(SBD)$:

$d = \dfrac{|\vec{n} \cdot \vec{SA}|}{|\vec{n}|}$ với $\vec{SA} = (0,0,2a\sqrt{3})$.

Tính: $\vec{n} \cdot \vec{SA} = 2a^2 \cdot 2a\sqrt{3} = 4a^3\sqrt{3}$.

$|\vec{n}| = \sqrt{(4a^2\sqrt{3})^2 + (2a^2\sqrt{3})^2 + (2a^2)^2} = a^2\sqrt{48 + 12 + 4} = a^2\sqrt{64} = 8a^2$.

Suy ra: $d = \dfrac{4a^3\sqrt{3}}{8a^2} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.

Câu 2: ABCD là hình chữ nhật có tâm O

=>O là trung điểm của AC

=>d(A;(SCD))=2d(O;(SCD))

Kẻ AH⊥SD tại H

ta có: CD⊥ AD(ABCD là hình chữ nhật)
CD⊥ SA(SA⊥(ABCD))

AD,SA cùng thuộc mp(SAD)

Do đó CD⊥(SAD)

=>CD⊥AH

Ta có: AH⊥SD

AH⊥CD
mà SD,CD cùng thuộc mp(SDC)

nên AH⊥(SCD)

=>AH là khoảng cách từ A đến mp(SCD)

Xét ΔSAD vuông tại A có AH là đường cao

nên \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AS^2}+\frac{1}{AD^2}=\frac{1}{\left(2a\right)^2}+\frac{1}{a^2}=\frac{1}{4a^2}+\frac{1}{a^2}=\frac{5}{4a^2}\)

=>\(AH^2=\frac{4a^2}{5}\)

=>\(AH=\frac{2a\sqrt5}{5}\)

=>\(d\left(A;\left(SCD\right)\right)=\frac{2a\sqrt5}{5}\)

=>\(d\left(O;\left(SCD\right)\right)=\frac{2a\sqrt5}{5}:2=\frac{a\sqrt5}{5}\)

Vì $SA \perp (ABCD)$ nên hình chiếu vuông góc của điểm $S$ xuống mặt phẳng $(ABCD)$ là điểm $A$.

Xét đường thẳng $SD$:

Góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $(ABCD)$ chính là góc giữa $SD$ và hình chiếu của nó lên mặt phẳng $(ABCD)$.

Hình chiếu của $SD$ xuống $(ABCD)$ là đoạn $AD$.

Do đó góc cần tìm là góc giữa $SD$ và $AD$, tức là:
$\widehat{SDA}$.

Đáp án: C. $\widehat{SDA}$

Đáp án D

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ