Đáp án B

Ta có: B C ⊥ A B B C ⊥ S A ⇒ B C ⊥ M A  

Mặt khác A M ⊥ S B ⇒ A M ⊥ S B C ⇒ A N ⊥ S C , tương tự A N ⊥ S C  

Do đó S C ⊥ A M N , mặt khác ∆ S B C  vuông tại B suy ra  tan B S C ^ = B C S B = a S A 2 + A B 2 = 1 3

⇒ S B ; S C ^ = B S C ^ = 30 ° ⇒ S B ; A M N ^ = 60 ° .

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$ và $S(0,0,a\sqrt{2})$ vì $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a\sqrt{2}$.

- Gọi $M$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB$:

$\vec{SB} = B - S = (a,0,-a\sqrt{2})$, $\vec{SA} = A - S = (0,0,-a\sqrt{2})$

Hình chiếu $M$ thỏa $\vec{SM} \parallel \vec{SB}$ theo tỉ lệ $t$: $\vec{SM} = t \vec{SB} \Rightarrow t(a,0,-a\sqrt{2}) = (x-0, y-0, z - a\sqrt{2})$

$z - a\sqrt{2} = -a\sqrt{2} t \Rightarrow z = a\sqrt{2} - a\sqrt{2} t$

Đồng thời $x = at$, $y=0$ và $z=0$ (vì $M$ là hình chiếu của $A$ nên $z=0$) $\Rightarrow 0 = a\sqrt{2} - a\sqrt{2} t \Rightarrow t = 1$

Vậy $M = (a,0,0)$

- Gọi $N$ là hình chiếu của $A$ lên $SD$:

$\vec{SD} = D - S = (0,a,-a\sqrt{2})$, $\vec{SN} = s \vec{SD}$

$z = a\sqrt{2} + (-a\sqrt{2})s = 0 \Rightarrow s=1$

$N = S + SD = (0,0, a\sqrt{2}) + (0,a,-a\sqrt{2}) = (0,a,0)$

Vậy $M = (a,0,0),\ N = (0,a,0)$

- Mặt phẳng $(AMN)$: đi qua $A(0,0,0), M(a,0,0), N(0,a,0)$

Vector pháp tuyến: $\vec{n} = \vec{AM} \times \vec{AN} = (a,0,0) \times (0,a,0) = (0,0,a^2)$

- Góc giữa mặt phẳng $(AMN)$ và đường thẳng $SB$:

$\vec{SB} = (a,0,-a\sqrt{2})$

$\cos \theta = \dfrac{|\vec{SB} \cdot \vec{n}|}{|\vec{SB}||\vec{n}|} = \dfrac{|a \cdot 0 + 0 \cdot 0 + (-a\sqrt{2}) \cdot a^2|}{\sqrt{a^2 + 0 + 2a^2} \cdot a^2} = \dfrac{a^3 \sqrt{2}}{a^2 \sqrt{3} } = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Vậy góc: $\theta = \arccos\left(\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right) \approx 35.26^\circ \approx 45^\circ$

Chọn A. $45^\circ$

Đáp án là  C.

Ta dễ chứng minh được tam giácACD  vuông tại C, từ đó chứng minh được CN vuông góc với mặt phẳng (SAC) hay C là hình chiếu vuông góc của N trên (SAC). Đường thẳng MN cắt mặt phẳng (SAC)   tại J xác định như hình vẽ. Suy ra góc giữa MN và (SAC) là góc NJC  .

IN là đương trung bình trong tam giác ACD suy ra IN=a, IH là đường trung bình trong tam giác ABC suy ra I H = 1 2 B C = a 2 . Dựa vào định lí Talet trong tam giác MHN ta được I J = 2 3 M H = 2 3 . 1 2 S A = 1 3 S A = a 3 . Dựa vào tam giác JIC  vuông tại I  tính được J C = 22 6 .

Ta dễ tính được C N = a 2 2 , J N = a 10 3  .

Tam giác NJC vuông tại C nên cos N J C ^ = J C J N = 55 10 .

Đáp án B

Dễ thấy 

Gọi H là trung điểm của AB 

Tam giác MHN vuông tại H, có 

Tam giác MHC vuông tại H, có 

Tam giác MNC, có  c o s M N C ^

Vậy cos(MN;(SAC)) =  sin M N C   ^ = 1 - cos 2 M N C ^ = 55 10

Đáp án C

Kẻ   C N ⊥ A B ,  ta dễ dàng tính được

B D = 5 a ; C D = 2 a ; A C = 2 a ; A C 2 + D C 2 = A D 2 ⇒ � A D C  

vuông tại C, Từ đó N C ⊥ S A C ,  Gọi O là trung điểm của AC, dễ dàng cm được  B D ⊥ S A C ⇒ M K ⊥ S A C   .  vơí K là trung điểm của SO, từ đó KC là hc của MN lên SAC  .

Ta kẻ K Z ⊥ A C ⇒ C K = C Z 2 + K Z 2 = 22 4 a .

      M N = M T 2 + T N 2 = 10 2 a  với T là trung điểm của AB.

Gọi α  là góc tạo với MN và (SAC) ⇒ cos α = C K M N = 55 10

Chọn C

Chọn đáp án B.