a: Chọn mp(SAB) có chứa MN

Ta có: \(AB\subset\left(SAB\right)\)

\(AB\subset\left(ABCD\right)\)

Do đó: \(\left(SAB\right)\cap\left(ABCD\right)=AB\)

Gọi P là giao điểm của MN với AB

=>P là giao điểm của MN với mp(ABCD)

b: Ta có: SN+NB=SB

=>2NB+NB=SB

=>SB=3NB

=>\(\dfrac{SN}{SB}=\dfrac{2}{3}\)

Xét ΔSBA có P,M,N thẳng hàng

nên \(\dfrac{PB}{PA}\cdot\dfrac{MA}{MS}\cdot\dfrac{NS}{NB}=1\)

=>\(\dfrac{PB}{PA}\cdot1\cdot2=1\)

=>\(\dfrac{PB}{PA}=\dfrac{1}{2}\)

=>B là trung điểm của AP

Trong mp(ABCD), gọi O là giao điểm của AC và BD

Ta có: ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AC và BD

Xét ΔAPC có

B,O lần lượt là trung điểm của AP,AC

=>BO là đường trung bình của ΔAPC

=>BO//PC

=>BD//PC

Ta có: PC//BD

BD\(\subset\)(SBD)

PC không nằm trong mp(SBD)

Do đó: PC//(SBD)

a: Xét ΔDAC có

M,N lần lượt là trung điểm của DA,DC

=>MN là đường trung bình của ΔDAC

=>MN//AC

=>MN//(SAC)

a: Xét ΔSBD có

M,N lần lượt là trung điểm của SB,SD

=>MN là đường trung bình

=>MN//BD

BD//MN

\(MN\subset\left(AMN\right)\)

BD không thuộc mp(AMN)

Do đó: BD//(AMN)

b: Gọi O là giao điểm của AC và BD

\(O\in AC\subset\left(SAC\right)\)

\(O\in BD\subset\left(SBD\right)\)

Do đó: \(O\in\left(SAC\right)\cap\left(SBD\right)\)

mà \(S\in\left(SAC\right)\cap\left(SBD\right)\)

nên \(\left(SAC\right)\cap\left(SBD\right)=SO\)

Chọn mp(SBD) có chứa MN

(SBD) giao (SAC)=SO(cmt)

Gọi K là giao điểm của SO với MN

=>K là giao điểm của MN với mp(SAC)

a: Gọi O là giao điểm của AC và BD

\(O\in AC\subset\left(SAC\right);O\in BD\subset\left(SBD\right)\)

=>\(O\in\left(SAC\right)\cap\left(SBD\right)\)

mà \(S\in\left(SAC\right)\cap\left(SBD\right)\)

nên \(\left(SAC\right)\cap\left(SBD\right)=SO\)

b: Xét (SAD) và (SBC) có

AD//BC

\(S\in\left(SAD\right)\cap\left(SBC\right)\)

Do đó: (SAD) giao (SBC)=xy, xy đi qua S và xy//AD//BC

d: Trong mp(SAB), gọi I là giao điểm của AB với SM

\(I\in SM;I\in AB\subset\left(ABCD\right)\)

Do đó: I là giao điểm của SM với mp(ABCD)

Bài 4:

a: Xét ΔSAB có M,N lần lượt là trung điểm của SA,SB

=>MN là đường trung bình của ΔSAB

=>MN//AB

mà AB//CD

nên MN//CD

Ta có; MN//CD
CD⊂(SCD)

MN không thuộc mp(SCD)

Do đó: MN//(SCD)

b: Sửa đề: MO//(SBC)

ABCD là hình bình hành tâm O

=>O là trung điểm chung của AC và BD

Xét ΔSAC có

M,O lần lượt là trung điểm của AS,AC
=>MO là đường trung bình của ΔSAC

=>MO//SC
mà SC⊂(SBC) và MO không thuộc mp(SBC)

nên MO//(SBC)

Bài 3:

a: Xét ΔSCD có

M,N lần lượt là trung điểm của SD,SC
=>MN là đường trung bình của ΔSCD

=>MN//CD

mà CD//AB

nên MN//AB

mà AB⊂(SAB) và MN không thuộc mp(SAB)

nên MN//(SAB)

Ta có: MN//AB

AB⊂(ABCD)

MN không thuộc mp(ABCD)

Do đó: MN//(ABCD)

b: ABCD là hình bình hành tâm O

=>O là trung điểm chung của BD và AC

Xét ΔSDB có

M,O lần lượt là trung điểm của DS,DB

=>MO là đường trung bình của ΔSDB

=>MO//SB

mà SB⊂(SAB) và MO không thuộc mp(SAB)

nên MO//(SAB)

a: ABCD là hình bình hành tâm O

=>O là giao điểm của AC và BD

O∈AC⊂(SAC)

O∈BD⊂(SBD)

Do đó: O∈(SAC) giao (SBD)(1)

S∈(SAC)

S∈(SBD)

Do đó: S∈(SAC) giao (SBD)(2)

Từ (1),(2) suy ra (SAC) giao (SBD)=SO

Trong mp(ABD), Gọi K là giao điểm của BN và AD

Xét ΔBAD có

N là trọng tâm

K là giao điểm của BN và AD

DO đó: K là trung điểm của AD

Xét ΔBAD có

N là trọng tâm

BK là đường trung tuyến

Do đó: \(BN=\frac23BK\)

Ta có: SM+MB=SB

=>MB=SB-SM=3SM-SM=2SM

=>\(\frac{BM}{BS}=\frac{2MS}{3MS}=\frac23\)

Xét ΔBKS có \(\frac{BN}{BK}=\frac{BM}{BS}\left(=\frac23\right)\)

nên MN//SK

mà SK⊂(SAD) và MN không thuộc mp(SAD)

nên MN//(SAD)

Trong mp(SDC), gọi F là giao điểm của CG và SD

Xét ΔSDC có

G là trọng tâm

F là giao điểm của CG và SD

Do đó: F là trung điểm của SD

Xét ΔSCD có

F là trung điểm của SD

G là trọng tâm

Do đó: \(CG=\frac23CF\)

=>CG=2GF

Trong mp(ABCD), gọi O là giao điểm của AC và BD

ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AC và BD

Xét ΔDAB có

N là trọng tâm

O là trung điểm của BD

Do đó: A,N,O thẳng hàng

=>\(AN=\frac23AO=\frac23OC;ON=\frac13OA=\frac13OC\)

Vì A,N,O thẳng hàng

và A,O,C thẳng hàng

nên A,N,O,C thẳng hàng

\(NC=NO+OC\)

\(=\frac13AO+AO=\frac43AO\)

=>\(\frac{CN}{NA}=\frac{\frac43AO}{\frac23AO}=\frac43:\frac23=2\)

Xét ΔCAF có \(\frac{CN}{NA}=\frac{CG}{GF}\left(=2\right)\)

nên GN//AF

mà AF⊂(SAD)

và GN không thuộc mp(SAD)

nên GN//(SAD)