ĐÁP ÁN: C

Chọn hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,3a,0),\ C(a,3a,0)$

Vì hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAD)$ cùng vuông góc với đáy nên $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc đáy qua $A$, đặt:

$S(0,0,h)$

Xét cạnh $SC$:

$\vec{SC} = (a,3a,-h)$

Góc giữa $SC$ và đáy là $30^\circ$:

$\sin 30^\circ = \dfrac{SH}{SC} = \dfrac{h}{\sqrt{a^2 + (3a)^2 + h^2}} = \dfrac{h}{\sqrt{10a^2 + h^2}}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{2} = \dfrac{h}{\sqrt{10a^2 + h^2}}$

Giải ra:

$\dfrac{1}{4} = \dfrac{h^2}{10a^2 + h^2} \Rightarrow 10a^2 + h^2 = 4h^2 \Rightarrow 10a^2 = 3h^2$

$\Rightarrow h^2 = \dfrac{10}{3}a^2 \Rightarrow h = a\sqrt{\dfrac{10}{3}}$

Diện tích đáy:

$S_{ABCD} = AB \cdot BC = a \cdot 3a = 3a^2$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot 3a^2 \cdot a\sqrt{\dfrac{10}{3}} = a^3 \sqrt{\dfrac{10}{3}}$

Đáp án B

Ta có diện tích đáy

=> Chọn phương án B

Chọn hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$

Vì hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAD)$ cùng vuông góc với đáy nên $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc đáy tại $A$, đặt:

$S(0,0,h)$

Xét cạnh $SC$:

$\vec{SC} = (a,a,-h)$

Góc giữa $SC$ và đáy là $60^\circ$:

$\sin 60^\circ = \dfrac{SH}{SC} = \dfrac{h}{\sqrt{a^2 + a^2 + h^2}} = \dfrac{h}{\sqrt{2a^2 + h^2}}$

$\Rightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{h}{\sqrt{2a^2 + h^2}}$

Giải ra:

$\dfrac{3}{4} = \dfrac{h^2}{2a^2 + h^2} \Rightarrow 3(2a^2 + h^2) = 4h^2$

$\Rightarrow 6a^2 + 3h^2 = 4h^2 \Rightarrow h^2 = 6a^2 \Rightarrow h = a\sqrt{6}$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot a\sqrt{6} = \dfrac{a^3\sqrt{6}}{3}$

Đáp án D

Ta có 

Vậy SB là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (SAB)

Đáp án A

Đáp án C

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$.

Tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, trung điểm $H$ của $AB$ là $H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$, nên $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy đi qua $H$, giả sử $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Thể tích đã cho: $V = \dfrac{a^3 \sqrt{15}}{6}$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$

Thể tích: $V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z \Rightarrow \dfrac{a^2 \cdot h}{3} = \dfrac{a^3 \sqrt{15}}{6} \Rightarrow h = \dfrac{a \sqrt{15}}{2}$

Tọa độ $S\left(\dfrac{a}{2},0,\dfrac{a\sqrt{15}}{2}\right)$ và $C(a,a,0)$

Vector $\vec{SC} = (a - \dfrac{a}{2}, a - 0, 0 - \dfrac{a\sqrt{15}}{2}) = \left(\dfrac{a}{2}, a, -\dfrac{a\sqrt{15}}{2}\right)$

Chiều dài trong mặt phẳng đáy: $SC_{xy} = \sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + a^2} = \sqrt{\dfrac{a^2}{4} + a^2} = \dfrac{a\sqrt5}{2}$

Góc $\theta$ giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy:

$\tan \theta = \dfrac{|SC_z|}{SC_{xy}} = \dfrac{\dfrac{a\sqrt{15}}{2}}{\dfrac{a\sqrt5}{2}} = \sqrt{3} \Rightarrow \theta = 60^\circ$

Chọn C.

a) (BD ⊥ SA & BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ (SAC)

⇒ BC ⊥ SC.

b) (BC ⊥ SA & BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB)

⇒ (SBC) ⊥ (SAB).

c) + Xác định góc α giữa đường thẳng SC và mp(ABCD):

(C ∈(ABCD) & SA ⊥ (ABCD) ⇒ ∠[(SC,(ABCD))] = ∠(ACS) = α

+ Tính góc:

Tam tam giác vuông SCA, ta có:

tanα = SA/AC = √3/3 ⇒ α   =   30 o .