Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$.

Tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, trung điểm $H$ của $AB$ là $H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$, nên $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy đi qua $H$, giả sử $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Góc giữa mặt phẳng $(SCD)$ và đáy bằng $60^\circ$, tức:

$\cos 60^\circ = \dfrac{|n_{SCD} \cdot n_{ABCD}|}{|n_{SCD}| \cdot |n_{ABCD}|} = \dfrac{1}{2}$

Vector pháp tuyến của đáy: $n_{ABCD} = (0,0,1)$

Vector pháp tuyến của $(SCD)$: $n_{SCD} = \vec{SC} \times \vec{SD}$

$\vec{SC} = \left(a - \dfrac{a}{2}, a - 0, 0 - h\right) = \left(\dfrac{a}{2}, a, -h\right)$

$\vec{SD} = \left(0 - \dfrac{a}{2}, a - 0, 0 - h\right) = \left(-\dfrac{a}{2}, a, -h\right)$

$\vec{SC} \times \vec{SD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \dfrac{a}{2} & a & -h \\ -\dfrac{a}{2} & a & -h \end{vmatrix} = (0, ah, a^2)$

$\cos \theta = \dfrac{|n_{SCD} \cdot n_{ABCD}|}{|n_{SCD}|} = \dfrac{|a^2|}{\sqrt{0^2 + (ah)^2 + (a^2)^2}} = \dfrac{a^2}{a\sqrt{h^2 + a^2}} = \dfrac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}}$

Theo đề: $\cos \theta = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \sqrt{h^2 + a^2} = 2a \Rightarrow h^2 = 3a^2 \Rightarrow h = a \sqrt{3}$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z = \dfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot a \sqrt{3} = \dfrac{a^3 \sqrt{3}}{3}$

Vậy: $V = \dfrac{a^3 \sqrt{3}}{3}$

Chọn C.

Đáp án A

Do AB // CD => giao tuyến của mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng qua S và song song với AB.

Dễ thấy Sx ⊥ (DSA) => Góc tạo bởi mặt phẳng (SAB) và (SCD) bằng góc  D S A ^ = a r c tan 1 3 = 30 0

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$ và $S(0,0,a\sqrt{3})$ vì $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a\sqrt{3}$.

Vector pháp tuyến của mặt phẳng $(SAB)$:

$\vec{SA} = (0-0,0-0,a\sqrt{3}-0) = (0,0,a\sqrt{3})$

$\vec{SB} = (a-0,0-0,a\sqrt{3}-0) = (a,0,a\sqrt{3})$

$\vec{n_1} = \vec{SA} \times \vec{SB} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & a\sqrt{3} \\ a & 0 & a\sqrt{3} \end{vmatrix} = (0, a^2 3,0) = (0,3 a^2,0)$

Vector pháp tuyến của mặt phẳng $(SCD)$:

$\vec{SC} = (a-0, a-0, a\sqrt{3}-0) = (a,a,a\sqrt{3})$

$\vec{SD} = (0-0, a-0, a\sqrt{3}-0) = (0,a,a\sqrt{3})$

$\vec{n_2} = \vec{SC} \times \vec{SD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & a & a\sqrt{3} \\ 0 & a & a\sqrt{3} \end{vmatrix} = (0, -3 a^2, a^2) $

Góc giữa hai mặt phẳng:

$\cos \theta = \dfrac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|} = \dfrac{|0 \cdot 0 + 3a^2 \cdot (-3a^2) + 0 \cdot a^2|}{\sqrt{(3a^2)^2}\sqrt{0^2 + (-3a^2)^2 + (a^2)^2}} = \dfrac{9 a^4}{3a^2 \cdot \sqrt{10} a^2} = \dfrac{9}{3 \sqrt{10}} = \dfrac{3}{\sqrt{10}}$

Suy ra $\theta \approx 60^\circ$

Chọn B.

Chọn đáp án C

Đáp án B

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$

Tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, trung điểm $H$ của $AB$ là $H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$, nên $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy đi qua $H$, giả sử $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Vector $\vec{SC} = (a - a/2, a - 0, 0 - h) = (a/2, a, -h)$

Vector $\vec{SD} = (0 - a/2, a - 0, 0 - h) = (-a/2, a, -h)$

Vector pháp tuyến của $(SCD)$: $\vec{n} = \vec{SC} \times \vec{SD} = (0, ah, a^2)$

Vector pháp tuyến đáy: $n_{ABCD} = (0,0,1)$

$\cos \theta = \dfrac{| \vec{n} \cdot n_{ABCD} |}{|\vec{n}|} = \dfrac{a^2}{\sqrt{(ah)^2 + 0^2 + a^4}} = \dfrac{a^2}{\sqrt{a^2 h^2 + a^4}} = \dfrac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}}$

Theo đề: $\cos \theta = \dfrac{2}{\sqrt{19}} \Rightarrow \dfrac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}} = \dfrac{2}{\sqrt{19}} \Rightarrow \sqrt{h^2 + a^2} = \dfrac{\sqrt{19}}{2} a \Rightarrow h^2 + a^2 = \dfrac{19 a^2}{4} \Rightarrow h^2 = \dfrac{15 a^2}{4} \Rightarrow h = \dfrac{a \sqrt{15}}{2}$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z = \dfrac{1}{3} a^2 \cdot \dfrac{a \sqrt{15}}{2} = \dfrac{a^3 \sqrt{15}}{6}$

Vậy: $V = \dfrac{a^3 \sqrt{15}}{6}$

Chọn B.

Đáp án A.

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$.

Tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, trung điểm $H$ của $AB$ là $H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$, nên $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy đi qua $H$, giả sử $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Thể tích đã cho: $V = \dfrac{a^3 \sqrt{3}}{6}$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$

Thể tích khối chóp: $V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z \Rightarrow \dfrac{a^2 \cdot h}{3} = \dfrac{a^3 \sqrt{3}}{6} \Rightarrow h = \dfrac{a \sqrt{3}}{2}$

Vector $\vec{SA} = \left(0 - \dfrac{a}{2}, 0 - 0, 0 - \dfrac{a \sqrt{3}}{2}\right) = \left(-\dfrac{a}{2}, 0, -\dfrac{a \sqrt{3}}{2}\right)$

Chiều dài cạnh bên:

$SA = \sqrt{\left(-\dfrac{a}{2}\right)^2 + 0^2 + \left(-\dfrac{a \sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{a^2}{4} + \dfrac{3a^2}{4}} = \sqrt{a^2} = a$

Vậy: $SA = a$

Chọn A.

Đáp án là A

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$.

Tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, trung điểm $H$ của $AB$ là $H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$, nên $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy đi qua $H$, giả sử $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Thể tích đã cho: $V = \dfrac{a^3 \sqrt{3}}{6}$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$

Thể tích khối chóp: $V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z \Rightarrow \dfrac{a^2 \cdot h}{3} = \dfrac{a^3 \sqrt{3}}{6} \Rightarrow h = \dfrac{a \sqrt{3}}{2}$

Vector $\vec{SA} = \left(0 - \dfrac{a}{2}, 0 - 0, 0 - \dfrac{a \sqrt{3}}{2}\right) = \left(-\dfrac{a}{2}, 0, -\dfrac{a \sqrt{3}}{2}\right)$

Chiều dài cạnh bên:

$SA = \sqrt{\left(-\dfrac{a}{2}\right)^2 + 0^2 + \left(-\dfrac{a \sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{a^2}{4} + \dfrac{3a^2}{4}} = \sqrt{a^2} = a$

Vậy: $SA = a$

Chọn A.

Đáp án D

Gọi M,H lần lượt là trung điểm của AB,CD.

Đáp án D.

Gọi H là trung điểm của AB thì S H ⊥ A B C D ⇒ S H = a 2 .

Khoảng cách từ H đến BC, CD, DA đều là a 2 3 ⇒ S A B C D = 1 2 . a 2 3 . 9 a − a = 2 a 2 3 .

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là V S . A B C D = 1 3 S H . S A B C D = 1 3 . a 2 . 2 a 2 3 = a 3 3 9 .