a)

Ta có $SO \perp (ABCD)$ nên: $SO \perp AD$ và $SO \perp AB$.

Mà $AB \perp AD$ nên: $BC \parallel AD \Rightarrow BC \perp AB$.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ nên: $OM \parallel AB$.

Suy ra: $OM \perp AD$.

Xét hai đường thẳng trong mặt phẳng $(SAD)$:
$AD,\ SA$.

Ta có: $SM$ đi qua $S$ và $M$.

Xét tam giác $SOM$:
$SO \perp OM$ nên $\triangle SOM$ vuông tại $O$.

Mặt khác: $OM \parallel AB \Rightarrow OM \perp AD$.

Suy ra: $SM \perp AD$.

Ta lại có:
$SO \perp AD$ và $SM$ nằm trong mặt phẳng $(SOM)$ nên: $SM \perp SA$.

Vậy:
$SM \perp AD$ và $SM \perp SA$

$\Rightarrow SM \perp (SAD)$.

b)

Gọi $\varphi$ là góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(SAD)$.

Khi đó: $\sin \varphi = \dfrac{d(C,(SAD))}{SC}$.

Tính các độ dài:

Ta có: $AB = a,\ AD = 2a \Rightarrow AC = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = a\sqrt{5}$.

$OC = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{a\sqrt{5}}{2}$.

Trong tam giác vuông $SOC$: $SO = \dfrac{a}{2}$.

$SC^2 = SO^2 + OC^2 = \dfrac{a^2}{4} + \dfrac{5a^2}{4} = \dfrac{6a^2}{4}$

$\Rightarrow SC = \dfrac{a\sqrt{6}}{2}$.

Tính khoảng cách từ $C$ đến $(SAD)$:

Do $(SAD)$ chứa $AD$ và $SO$ nên là mặt phẳng vuông góc đáy theo phương $AD$.

Suy ra khoảng cách từ $C$ đến $(SAD)$ chính là khoảng cách từ $C$ đến đường $AD$ trong đáy.

Mà hình chữ nhật nên: $d(C,AD) = AB = a$.

Do đó: $\sin \varphi = \dfrac{a}{\dfrac{a\sqrt{6}}{2}} = \dfrac{2}{\sqrt{6}} = \dfrac{\sqrt{6}}{3}$.

a) Gọi M' (x₁' ; y₁' ), N' (x₂' ; y₂ ) 

* M' là ảnh của M qua phép F, nên toạ độ M' thoả: 
{x₁' = x₁.cosα – y₁.sinα + a 
{y₁' = x₁.sinα + y₁.cosα + b 

* N' là ảnh của N qua phép F, nên toạ độ N' thoả: 
{x₂' = x₂.cosα – y₂.sinα + a 
{y₂' = x₂.sinα + y₂.cosα + b 

b) * Khoảng cách d giữa M và N là: 
d = MN = √ [(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²] 

* Khoảng cách d' giữa M' và N' là: 
d' = M'N' = √ [(x₂' - x₁' )² + (y₂' - y₁' )²] 

= √ {[x₂.cosα – y₂.sinα + a - (x₁.cosα – y₁.sinα + a)]² + [x₂.sinα + y₂.cosα + b - (x₁.sinα + y₁.cosα + b)]²} 

= √ {[cosα(x₂ - x₁) - sinα(y₂ - y₁)]² + [sinα(x₂ - x₁) + cosα(y₂ - y₁)]²} 

= √ [(x₂ - x₁)².(cos²α + sin²α) + (y₂ - y₁)².(cos²α + sin²α)] 

= √ [(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²] 

c) Phép F là phép dời hình vì: MN = M'N' = √ [(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²] 

d) Khi α = 0 ⇒ cosα = 1, sinα = 0 

Suy ra: 
{x' = x + a 
{y' = y + b 
Đây là biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến. Vậy F là phép tịnh tiến

a có \(\angle \left(\right. S C , \left(\right. A B C D \left.\right) \left.\right) = 45^{\circ}\).

Nghĩa là hình chiếu của \(S\) xuống đáy nằm trên đường chéo \(B D\).

Xét tam giác cân \(S A B\), do tính đối xứng ⇒ khoảng cách từ \(A\) đến \(\left(\right. S C D \left.\right)\) chính bằng nửa cạnh hình vuông:

\(d\left(\right.A,\left(\right.SCD\left.\right)\left.\right)=\frac{a}{2}\)

Với \(M\) là trung điểm \(S A\), khoảng cách giảm đi một nửa:

\(d\left(\right.M,\left(\right.SCD\left.\right)\left.\right)=\frac{a}{4}\)

Đáp số

\(d \left(\right. A , \left(\right. S C D \left.\right) \left.\right) = \frac{a}{2}\)

\(d \left(\right. M , \left(\right. S C D \left.\right) \left.\right) = \frac{a}{4}\)

Đặt hệ trục tọa độ: Chọn $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ C(a,a,0),\ D(0,a,0)$.

Vì $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a\sqrt{6}$ nên đặt $S(0,0,a\sqrt{6})$.

Xét: $\vec{SB} = (a,0,-a\sqrt{6}),\ \vec{SA} = (0,0,a\sqrt{6}),\ \vec{AC} = (a,a,0)$.

Mặt phẳng $(SAC)$ có vectơ pháp tuyến:
$\vec{n} = \vec{SA} \times \vec{AC} = (-a^2\sqrt{6},\ a^2\sqrt{6},\ 0)$.

Góc giữa $SB$ và $(SAC)$ là $\alpha$, ta có:
$\sin\alpha = \dfrac{|\vec{SB} \cdot \vec{n}|}{|\vec{SB}| \cdot |\vec{n}|}$.

Tính: $\vec{SB} \cdot \vec{n} = a(-a^2\sqrt{6}) + 0 + (-a\sqrt{6})\cdot 0 = -a^3\sqrt{6}$

⇒ $|\vec{SB} \cdot \vec{n}| = a^3\sqrt{6}$.

$|\vec{SB}| = \sqrt{a^2 + 6a^2} = a\sqrt{7}$.

$|\vec{n}| = \sqrt{(-a^2\sqrt{6})^2 + (a^2\sqrt{6})^2} = a^2\sqrt{12} = 2a^2\sqrt{3}$.

Suy ra: $\sin\alpha = \dfrac{a^3\sqrt{6}}{a\sqrt{7} \cdot 2a^2\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{6}}{2\sqrt{21}} = \dfrac{1}{\sqrt{14}}$.

Vậy: $\sin\alpha = \dfrac{1}{\sqrt{14}} = \dfrac{\sqrt{14}}{14}$.

Đáp án: A. $\dfrac{1}{\sqrt{14}}$