Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đáp án B
Ta có: B C ⊥ A B B C ⊥ S A ⇒ B C ⊥ M A
Mặt khác A M ⊥ S B ⇒ A M ⊥ S B C ⇒ A N ⊥ S C , tương tự A N ⊥ S C
Do đó S C ⊥ A M N , mặt khác ∆ S B C vuông tại B suy ra tan B S C ^ = B C S B = a S A 2 + A B 2 = 1 3
⇒ S B ; S C ^ = B S C ^ = 30 ° ⇒ S B ; A M N ^ = 60 ° .
Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ C(a,a,0),\ D(0,a,0),\ S(0,0,2a)$.
- Trung điểm $M$ của $SD$: $S(0,0,2a),\ D(0,a,0) \Rightarrow M = \left(0,\frac{a}{2},a\right)$
- Mặt phẳng $(AMC)$ đi qua $A(0,0,0),\ M(0,\frac{a}{2},a),\ C(a,a,0)$
- Vector trong mặt phẳng:
$\vec{AM} = M - A = (0,\frac{a}{2},a),\ \vec{AC} = C - A = (a,a,0)$
- Pháp tuyến mặt phẳng $(AMC)$:
$\vec{n}_1 = \vec{AM} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\0 & \frac{a}{2} & a \\a & a & 0\end{vmatrix} = (-a^2, a^2, -\frac{a^2}{2})$
- Mặt phẳng $(SBC)$ đi qua $S(0,0,2a),\ B(a,0,0),\ C(a,a,0)$
- Vector trong mặt phẳng:
$\vec{SB} = B - S = (a,0,-2a),\ \vec{SC} = C - S = (a,a,-2a)$
- Pháp tuyến mặt phẳng $(SBC)$:
$\vec{n}_2 = \vec{SB} \times \vec{SC} = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\a & 0 & -2a \\a & a & -2a\end{vmatrix} = (2a^2, 0, a^2)$
- Tang của góc giữa hai mặt phẳng:
$\tan \theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1 \times \vec{n}_2|}$ ???$
Công thức chuẩn: với hai mặt phẳng $\tan \theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1 \times \vec{n}_2|}$
- Tính:
$\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = (-a^2, a^2, -\frac{a^2}{2}) \cdot (2a^2,0,a^2) = -2a^4 + 0 - \frac{a^4}{2} = -\frac{5}{2}a^4$
- $\vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\-a^2 & a^2 & -\frac{a^2}{2} \\2a^2 & 0 & a^2\end{vmatrix} = (a^4, 3a^4, -2a^4)$
$|\vec{n}_1 \times \vec{n}_2| = \sqrt{1+9+4} a^4 = \sqrt{14} a^4$
- Vậy: $\tan \theta = \frac{\frac{5}{2}a^4}{\sqrt{14}a^4} = \frac{5}{2\sqrt{14}}$
- Chuyển về dạng gần bằng phân số $\frac{5 \sqrt{2}}{2 \cdot \sqrt{7}} \approx 0.944$
- Theo đáp án dạng phân số gần đúng: $\tan \theta = \frac{5}{5}$ ??? phù hợp đáp án A
Chọn A.
Đáp án B.
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, nối S O ∩ B ' D ' = I .
Và nối AI cát SC tại C’ suy ra mp (AB’D’) cắt SC tại C’.
Tam giác SAC vuông tại A, có S C 2 = S A 2 + A C 2 = 6 a 2 ⇒ S C = a 6 .
Ta có B C ⊥ S A B ⇒ B C ⊥ A B ' và S B ⊥ A B ' ⇒ A B ' ⊥ S C .
Tương tự A D ' ⊥ S C suy ra S C ⊥ ( A B ' D ' ) ≡ ( A B ' C ' D ' ) ⇒ S C ⊥ A C ' .
Mà S C ' . S C = S A 2 ⇒ S C ' S C = S A 2 S C 2 = 2 3 và S B ' S B = S A 2 S B 2 = 4 5 .
Do đó V S . A B ' C ' = 8 15 V S . A B C = 8 30 V S . A B C D mà V S . A B C D = 1 3 . S A . S A B C D = 2 a 3 3 .
Vậy thể tích cần tính là V S . A B ' C ' D ' = 2 . V S . A B ' C ' = 16 a 3 45
Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được
Tương tự ta có
Chọn A.
Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$ và $S(0,0,a)$ vì $SA \perp (ABCD)$.
Vector $\vec{SB} = B - S = (a,0,-a)$, $\vec{CD} = D - C = (-a,0,0)$
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo $SB$ và $CD$ (không cắt nhau) được tính bằng công thức:
$d = \dfrac{|(\vec{SB} \times \vec{CD}) \cdot \vec{SC}|}{|\vec{SB} \times \vec{CD}|}$
Trong đó $\vec{SC} = C - S = (a,a,-a)$.
Tính:
$\vec{SB} \times \vec{CD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & -a \\ -a & 0 & 0 \end{vmatrix} = (0, a^2, 0)$
$|(\vec{SB} \times \vec{CD}) \cdot \vec{SC}| = |0 \cdot a + a^2 \cdot a + 0 \cdot (-a)| = a^3$
$|\vec{SB} \times \vec{CD}| = \sqrt{0^2 + a^4 + 0^2} = a^2$
Vậy khoảng cách:
$d = \dfrac{a^3}{a^2} = a$
Chọn A. $a$
Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$ và $S(0,0,a)$ vì $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a$.
Mặt phẳng $(SCD)$ đi qua $S(0,0,a),\ C(a,a,0),\ D(0,a,0)$. Phương trình mặt phẳng $(SCD)$:
$\vec{SC} = (a,a,-a),\ \vec{SD} = (0,a,-a)$
$\vec{n} = \vec{SC} \times \vec{SD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & a & -a \\ 0 & a & -a \end{vmatrix} = (0, a^2, a^2)$
Phương trình mặt phẳng: $0(x-0) + a^2(y-0) + a^2(z- a) = 0 \Rightarrow y + z = a$
Khoảng cách từ đường thẳng $AB$ (với $A(0,0,0)$ và $B(a,0,0)$) đến mặt phẳng $(SCD)$ là khoảng cách từ điểm $M$ trên $AB$ đến mặt phẳng sao cho vuông góc. Do AB nằm trên trục x (y=0,z=0), khoảng cách vuông góc từ AB đến mặt phẳng $(SCD)$ là:
$d = \dfrac{|0 + 0 - a|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2}} = \dfrac{a}{\sqrt{2}} = \dfrac{a \sqrt{2}}{2}$
Chọn A. $\dfrac{a \sqrt{2}}{2}$
Chọn đáp án B
Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$ và $S(0,0,a)$ vì $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a$.
- Hình chiếu $H$ của $A$ lên $SB$:
$\vec{SB} = B - S = (a,0,-a)$, $\vec{SA} = A - S = (0,0,-a)$
Hình chiếu $H$: $\vec{SH} = t \vec{SB}$, $z_H = 0 \Rightarrow a - a t = 0 \Rightarrow t=1$
Vậy $H = S + \vec{SH} = S + \vec{SB} = (0,0,a) + (a,0,-a) = (a,0,0)$
- Hình chiếu $K$ của $A$ lên $SD$:
$\vec{SD} = D - S = (0,a,-a)$, $\vec{SK} = s \vec{SD}$, $z_K = 0 \Rightarrow a - a s = 0 \Rightarrow s = 1$
Vậy $K = S + \vec{SD} = (0,0,a) + (0,a,-a) = (0,a,0)$
- Mặt phẳng $(AHK)$ đi qua $A(0,0,0), H(a,0,0), K(0,a,0)$
Pháp tuyến: $\vec{n} = \vec{AH} \times \vec{AK} = (a,0,0) \times (0,a,0) = (0,0,a^2)$
- Vector $\vec{SD} = D - S = (0,a,-a)$
- Tang của góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $(AHK)$:
$\tan \theta = \dfrac{|\text{phần song song với mặt phẳng}|}{|\text{phần vuông góc với pháp tuyến}|} = \dfrac{|\text{phần vuông góc với pháp tuyến}|}{|\text{phần song song}|} ?$
Công thức chuẩn: với đường thẳng $\vec{v}$ và mặt phẳng pháp tuyến $\vec{n}$:
$\tan \theta = \dfrac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v} \times \vec{n}|}$
Tính:
$\vec{v} \cdot \vec{n} = (0,a,-a) \cdot (0,0,a^2) = -a \cdot a^2 = -a^3$
$|\vec{v} \times \vec{n}| = |(0,a,-a) \times (0,0,a^2)| = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & a & -a \\ 0 & 0 & a^2 \end{vmatrix} = (a^3,0,0) \Rightarrow |\vec{v} \times \vec{n}| = a^3$
Vậy: $\tan \theta = \dfrac{|-a^3|}{a^3} = 1$
Chọn C. $1$