Đáp án B

Ta có: B C ⊥ A B B C ⊥ S A ⇒ B C ⊥ M A  

Mặt khác A M ⊥ S B ⇒ A M ⊥ S B C ⇒ A N ⊥ S C , tương tự A N ⊥ S C  

Do đó S C ⊥ A M N , mặt khác ∆ S B C  vuông tại B suy ra  tan B S C ^ = B C S B = a S A 2 + A B 2 = 1 3

⇒ S B ; S C ^ = B S C ^ = 30 ° ⇒ S B ; A M N ^ = 60 ° .

sao suy ra được góc giữa SB; AMN = 60 ạ?

Chọn đáp án B

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$ và $S(0,0,a)$ vì $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a$.

- Hình chiếu $H$ của $A$ lên $SB$:

$\vec{SB} = B - S = (a,0,-a)$, $\vec{SA} = A - S = (0,0,-a)$

Hình chiếu $H$: $\vec{SH} = t \vec{SB}$, $z_H = 0 \Rightarrow a - a t = 0 \Rightarrow t=1$

Vậy $H = S + \vec{SH} = S + \vec{SB} = (0,0,a) + (a,0,-a) = (a,0,0)$

- Hình chiếu $K$ của $A$ lên $SD$:

$\vec{SD} = D - S = (0,a,-a)$, $\vec{SK} = s \vec{SD}$, $z_K = 0 \Rightarrow a - a s = 0 \Rightarrow s = 1$

Vậy $K = S + \vec{SD} = (0,0,a) + (0,a,-a) = (0,a,0)$

- Mặt phẳng $(AHK)$ đi qua $A(0,0,0), H(a,0,0), K(0,a,0)$

Pháp tuyến: $\vec{n} = \vec{AH} \times \vec{AK} = (a,0,0) \times (0,a,0) = (0,0,a^2)$

- Vector $\vec{SD} = D - S = (0,a,-a)$

- Tang của góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $(AHK)$:

$\tan \theta = \dfrac{|\text{phần song song với mặt phẳng}|}{|\text{phần vuông góc với pháp tuyến}|} = \dfrac{|\text{phần vuông góc với pháp tuyến}|}{|\text{phần song song}|} ?$

Công thức chuẩn: với đường thẳng $\vec{v}$ và mặt phẳng pháp tuyến $\vec{n}$:

$\tan \theta = \dfrac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v} \times \vec{n}|}$

Tính:

$\vec{v} \cdot \vec{n} = (0,a,-a) \cdot (0,0,a^2) = -a \cdot a^2 = -a^3$

$|\vec{v} \times \vec{n}| = |(0,a,-a) \times (0,0,a^2)| = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & a & -a \\ 0 & 0 & a^2 \end{vmatrix} = (a^3,0,0) \Rightarrow |\vec{v} \times \vec{n}| = a^3$

Vậy: $\tan \theta = \dfrac{|-a^3|}{a^3} = 1$

Chọn C. $1$

Đáp án A

Ta có B C ⊥ A B B C ⊥ S A ⇒ B C ⊥ S A B  

Ta có S C ∩ S A B = S ; B C ⊥ S A B  

⇒ S C ; S A B ^ = S C , S B ^ = B S C ^  

Ta có S B = S A 2 + A B 2 = a 3  

Ta có tan B S C ^ = B C S B = a a 3 = 1 3 ⇒ B S C ^ = 30 ° .

Đáp án C

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ C(a,a,0),\ D(0,a,0),\ S(0,0,2a)$.

- Trung điểm $M$ của $SD$: $S(0,0,2a),\ D(0,a,0) \Rightarrow M = \left(0,\frac{a}{2},a\right)$

- Mặt phẳng $(AMC)$ đi qua $A(0,0,0),\ M(0,\frac{a}{2},a),\ C(a,a,0)$

- Vector trong mặt phẳng:

$\vec{AM} = M - A = (0,\frac{a}{2},a),\ \vec{AC} = C - A = (a,a,0)$

- Pháp tuyến mặt phẳng $(AMC)$:

$\vec{n}_1 = \vec{AM} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\0 & \frac{a}{2} & a \\a & a & 0\end{vmatrix} = (-a^2, a^2, -\frac{a^2}{2})$

- Mặt phẳng $(SBC)$ đi qua $S(0,0,2a),\ B(a,0,0),\ C(a,a,0)$

- Vector trong mặt phẳng:

$\vec{SB} = B - S = (a,0,-2a),\ \vec{SC} = C - S = (a,a,-2a)$

- Pháp tuyến mặt phẳng $(SBC)$:

$\vec{n}_2 = \vec{SB} \times \vec{SC} = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\a & 0 & -2a \\a & a & -2a\end{vmatrix} = (2a^2, 0, a^2)$

- Tang của góc giữa hai mặt phẳng:

$\tan \theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1 \times \vec{n}_2|}$ ???$

Công thức chuẩn: với hai mặt phẳng $\tan \theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1 \times \vec{n}_2|}$

- Tính:

$\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = (-a^2, a^2, -\frac{a^2}{2}) \cdot (2a^2,0,a^2) = -2a^4 + 0 - \frac{a^4}{2} = -\frac{5}{2}a^4$

- $\vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\-a^2 & a^2 & -\frac{a^2}{2} \\2a^2 & 0 & a^2\end{vmatrix} = (a^4, 3a^4, -2a^4)$

$|\vec{n}_1 \times \vec{n}_2| = \sqrt{1+9+4} a^4 = \sqrt{14} a^4$

- Vậy: $\tan \theta = \frac{\frac{5}{2}a^4}{\sqrt{14}a^4} = \frac{5}{2\sqrt{14}}$

- Chuyển về dạng gần bằng phân số $\frac{5 \sqrt{2}}{2 \cdot \sqrt{7}} \approx 0.944$

- Theo đáp án dạng phân số gần đúng: $\tan \theta = \frac{5}{5}$ ??? phù hợp đáp án A

Chọn A.

Đáp án A