Phương pháp:

- Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian, gắn hệ trục tọa độ gốc A và các trục tọa độ sao cho 

 - Sử dụng các công thức điểm, véc tơ, mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng để tính toán.

Cách giải:

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, giả sử ABCD là hình vuông cạnh l,

chiều cao hình chóp SH = h.

Đáp án C

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp đều ∆ABD

Ta có 

Lại có d(H;(SBC)) = HK và 

Khoảng cách từ D →(SBC) là 

Vậy ∆ABD 

Chọn đáp án C.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB.

Đặt hệ trục tọa độ sao cho:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ C(a,a\sqrt3,0),\ D(0,a\sqrt3,0)$.

Vì $SA\perp(ABCD)$ và $SA=a$ nên:

$S(0,0,a)$.

Ta có:

$\vec{BD}=(-a,a\sqrt3,0)$.

Trong mặt phẳng $(SBC)$:

$\vec{SB}=(-a,0,a),\ \vec{BC}=(0,a\sqrt3,0)$.

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(SBC)$ là:

$\vec n=\vec{SB}\times\vec{BC}=(-a^2\sqrt3,0,-a^2\sqrt3)$.

Suy ra có thể lấy:

$\vec n=(1,0,1)$.

Góc giữa đường thẳng $BD$ và mặt phẳng $(SBC)$ là $\alpha$, khi đó:

$\sin\alpha=\dfrac{|\vec{BD}\cdot\vec n|}{|\vec{BD}||\vec n|}$.

Ta có:

$\vec{BD}\cdot\vec n=-a$,

$|\vec{BD}|=\sqrt{a^2+3a^2}=2a$,

$|\vec n|=\sqrt2$.

Suy ra: $\sin\alpha=\dfrac{a}{2a\sqrt2}=\dfrac{1}{2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{4}$.

Vậy: $\boxed{\sin\alpha=\dfrac{\sqrt2}{4}}$.

Chọn đáp án C.

Đáp án C.

Đáp án C.

Ta có B C ⊥ A B ; B C ⊥ S A  nên B C ⊥ S A B .

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB.

Khi đó A H ⊥ S B C  và d A , S B C = A H .

Ta có góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng A B C D  là góc S B A ^ .

Đặt S B A ^ = α .

Theo giả thiết ta có A B = a sin α ; S A = a cos α .

Thể tích khối chóp S.ABCD là V = 1 3 . S A . S A B C D = 1 3 sin 2 α cos α a 3 .

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có

sin 2 α . sin 2 α .2 cos 2 α ≤ sin 2 α + sin 2 α + 2 cos 2 α 3 3 = 8 27

Suy ra sin 2 α cos α ≤ 2 3 9 . Do đó V ≥ 3 2 a 3 .

Dấu bằng xảy ra khi sin 2 α = 2 cos 2 α ⇒ cos α = 1 3 .

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 2 a 3  khi cos α = 1 3 .

Suy ra V 0 = 3 2 a 3 ; p = 1, q = 3  

⇒ T = p + q V 0 = 2 3 a 3 .

Vì AB, AC, AS đôi một vuông góc nên

Chọn C.

Gọi $AB=AC=a$ vì đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$.

Do $SA \perp (ABC)$ nên đặt: $SA=h$.

Thể tích khối chóp:

$V=\dfrac13\cdot\dfrac{a^2}{2}\cdot h=\dfrac{a^2h}{6}$.

Gọi $d$ là khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$.

Theo giả thiết: $d=3$.

Ta có công thức thể tích theo đáy $SBC$:

$V=\dfrac13 S_{SBC}\cdot d=S_{SBC}$.

Suy ra: $S_{SBC}=\dfrac{a^2h}{6}$.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$.

Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên:

$AM\perp BC$ và: $AM=\dfrac{a}{\sqrt2}$.

Mặt khác: $SA\perp BC$.

Suy ra mặt phẳng $(SAM)\perp BC$.

Do đó góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ là:

$\alpha=\widehat{SMA}$.

Xét tam giác vuông $SAM$ tại $A$:

$\tan\alpha=\dfrac{SA}{AM}=\dfrac{h}{a/\sqrt2}=\dfrac{h\sqrt2}{a}$.

Suy ra: $h=\dfrac{a\tan\alpha}{\sqrt2}$.

Thể tích:

$V=\dfrac{a^2}{6}\cdot\dfrac{a\tan\alpha}{\sqrt2} =\dfrac{a^3\tan\alpha}{6\sqrt2}$.

Mặt khác khoảng cách từ $A$ đến $(SBC)$ bằng:

$d=AM\sin\alpha =\dfrac{a}{\sqrt2}\sin\alpha=3$.

Suy ra: $a=\dfrac{3\sqrt2}{\sin\alpha}$.

Thế vào biểu thức thể tích:

$V=\dfrac1{6\sqrt2}\left(\dfrac{3\sqrt2}{\sin\alpha}\right)^3\tan\alpha$

$=\dfrac{9}{\sin^2\alpha\cos\alpha}$.

Đặt: $t=\cos\alpha$ với $0<t<1$.

Khi đó: $V=\dfrac{9}{(1-t^2)t}$.

Để $V$ nhỏ nhất thì: $(1-t^2)t=t-t^3$ phải lớn nhất.

Xét: $f(t)=t-t^3$.

$f'(t)=1-3t^2$.

$f'(t)=0 \Rightarrow t=\dfrac1{\sqrt3}$.

Vậy: $\cos\alpha=\dfrac{\sqrt3}{3}$.

Chọn đáp án C.