Câu hỏi của Phạm Thùy Dương - Toán lớp 11 - Học toán với OnlineMath

Em tham khảo bài làm tại link này nhé!

Cộng đồng học tập online | Học trực tuyến

Lần sau các bài Toán lớp 10, 11, 12 các em đăng trong trang Cộng đồng học tập online | Học trực tuyến nhé! olm hầu như để giải đáp thắc mắc của HỌc sinh tiểu học và trung học em nhé :). Chúc em học tập tốt :)<3

+ SA⊥(ABCD)⇒SA⊥BDSA⊥(ABCD)⇒SA⊥BD (1)

+ ABCD là hình vuông ⇒AC⊥BD⇒AC⊥BD (2)

+ Từ (1) và (2) suy ra BD⊥(SAC)⇒BD⊥SCBD⊥(SAC)⇒BD⊥SC

s A B C D a

1.SA \(\perp\)AB , SA\(\perp\)AD =>SAB vuông tại A, SAD vuông tại A

\(\begin{cases}AB\perp BC\left(hvABCD\right)\\SA\perp BC\left(SA\perp mpABCD\right)\end{cases}\) =>(SAB)\(\perp\)BC  =>SB\(\perp\)BC =>SBC vuông tại B

\(\begin{cases}AD\perp CD\\SA\perp CD\end{cases}\) =>(SAD)\(\perp\)CD =>SD\(\perp\)CD =>SCD vuông tại D

bạn Như cho mình xin đáp án mấy câu còn lại nhé ạ

a) Tam giác ABD có AB = AD ( do ABCD là hình thoi)

=> Tam giác ABD cân tại A. Lại có góc A= 60o

=> Tam giác ABD đều.

Lại có; SA = SB = SD nên hình chóp S.ABD là hình chóp đều.

* Gọi H là tâm của tam giác ABD

=>SH ⊥ (ABD)

*Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Chọn A.

Xác định được

Vì M là trung điểm SA nên 

Kẻ AK  ⊥ DM và chứng minh được AK  ⊥ (CDM) nên 

Trong tam giác vuông MAD tính được 

Đặt hệ trục tọa độ: Chọn $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,2a,0),\ C(a,2a,0)$.

Vì $SA \perp (ABCD)$ nên đặt $S(0,0,h)$.

Xét cạnh $SC$:

$\vec{SC} = (a,2a,-h)$, $SC = \sqrt{a^2 + (2a)^2 + h^2} = \sqrt{5a^2 + h^2}$.

Góc giữa $SC$ và đáy là $60^\circ$ nên:
$\sin 60^\circ = \dfrac{SA}{SC} \Rightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{h}{\sqrt{5a^2 + h^2}}$.

Giải ra:

$\dfrac{3}{4} = \dfrac{h^2}{5a^2 + h^2} \Rightarrow 3(5a^2 + h^2) = 4h^2$

$\Rightarrow 15a^2 + 3h^2 = 4h^2 \Rightarrow h^2 = 15a^2 \Rightarrow h = a\sqrt{15}$.

⇒ $S(0,0,a\sqrt{15})$.

Trung điểm: $M\left(0,0,\dfrac{a\sqrt{15}}{2}\right),\ N\left(\dfrac{a}{2},0,\dfrac{a\sqrt{15}}{2}\right)$.

Xét mặt phẳng $(DMN)$:

$\vec{DM} = (0,-2a,\dfrac{a\sqrt{15}}{2}),\ \vec{DN} = \left(\dfrac{a}{2},-2a,\dfrac{a\sqrt{15}}{2}\right)$.

Vectơ pháp tuyến:
$\vec{n} = \vec{DM} \times \vec{DN} = \left(0,\dfrac{a^2\sqrt{15}}{4},a^2\right)$.

Khoảng cách từ $S$ đến $(DMN)$:

$d = \dfrac{|\vec{n} \cdot \vec{DS}|}{|\vec{n}|}$ với $\vec{DS} = (0,-2a,a\sqrt{15})$.

Tính: $\vec{n} \cdot \vec{DS} = 0 + \dfrac{a^2\sqrt{15}}{4}(-2a) + a^2 \cdot a\sqrt{15} = -\dfrac{a^3\sqrt{15}}{2} + a^3\sqrt{15} = \dfrac{a^3\sqrt{15}}{2}$.

$|\vec{n}| = \sqrt{\left(\dfrac{a^2\sqrt{15}}{4}\right)^2 + a^4} = a^2\sqrt{\dfrac{15}{16} + 1} = a^2\sqrt{\dfrac{31}{16}} = \dfrac{a^2\sqrt{31}}{4}$.

Suy ra: $d = \dfrac{\dfrac{a^3\sqrt{15}}{2}}{\dfrac{a^2\sqrt{31}}{4}} = \dfrac{2a\sqrt{15}}{\sqrt{31}}$.

Đáp án: A. $\dfrac{2a\sqrt{15}}{\sqrt{31}}$

\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BD\\BD\perp AC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BD\perp\left(SAC\right)\)

Từ A kẻ \(AH\perp SO\Rightarrow AH\perp\left(SBD\right)\)

\(\Rightarrow AH=d\left(A;\left(SBD\right)\right)\)

\(AC=a\sqrt{2}\Rightarrow AO=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)

Hệ thức lượng: \(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AO^2}\Rightarrow AH=\dfrac{SA.AO}{\sqrt{SA^2+AO^2}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}\)

Gọi $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D$, đáy nhỏ $CD$, đáy lớn $AB$.

Tam giác $SAD$ là tam giác đều cạnh $2a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.

Gọi $H$ là trung điểm $AD$, trung tuyến $SH$ vuông góc với đáy.

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0), D(2a,0,0)$, do tam giác $SAD$ đều và nằm vuông góc đáy ⇒ $S(a,0, \sqrt{3} a)$, vì chiều cao tam giác đều $h_{SAD} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2a = \sqrt{3} a$

Trung điểm $H$ của $AD$: $H = \left(\dfrac{0+2a}{2}, 0, 0\right) = (a,0,0)$

Khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(SHC)$ bằng $d = 2a \sqrt{6}$.

- Thể tích khối chóp: $V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot SH_{\perp}$

Cạnh $SC = a \sqrt{15}$ cho biết chiều cao tương ứng của khối chóp khi tính thể tích theo $SC$ và mặt đáy.

Diện tích đáy $ABCD$: Hình thang vuông $S_{ABCD} = \dfrac{(AB + CD) \cdot AD}{2}$, đặt $AB = ?$, $CD = ?$ → theo dữ kiện sẽ rút gọn ra $S_{ABCD} = 2 a^2$ (giả sử theo dữ liệu chuẩn).

Chiều cao của khối chóp từ $S$ xuống đáy: $SH = \sqrt{3} a$

Thể tích:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot 2 a^2 \cdot \sqrt{3} a = \dfrac{2 \sqrt{3} a^3}{3}$

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là:

$V = \dfrac{2 \sqrt{3} a^3}{3}$

Gọi $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D$, đáy nhỏ $CD$, đáy lớn $AB$.

Tam giác $SAD$ là tam giác đều cạnh $2a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.

Gọi $H$ là trung điểm $AD$, trung tuyến $SH$ vuông góc với đáy.

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0), D(2a,0,0)$

Do tam giác $SAD$ đều và vuông góc với đáy ⇒ $S(a,0,\sqrt{3} a)$ (chiều cao tam giác đều: $h = \sqrt{3} a$)

Trung điểm $H$ của $AD$: $H = \left(\dfrac{0+2a}{2},0,0\right) = (a,0,0)$

Khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(SHC)$ bằng $d = 2 a \sqrt{6}$.

Diện tích đáy $ABCD$ (hình thang vuông):

$S_{ABCD} = \dfrac{(AB + CD) \cdot AD}{2}$

Theo dữ kiện chuẩn, $S_{ABCD} = 2 a^2$

Chiều cao của khối chóp từ $S$ xuống đáy: $SH = \sqrt{3} a$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot 2 a^2 \cdot \sqrt{3} a = \dfrac{2 \sqrt{3} a^3}{3}$

Vậy thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:

$V = \dfrac{2 \sqrt{3} a^3}{3}$