Gọi $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D$, đáy nhỏ $CD$, đáy lớn $AB$.

Tam giác $SAD$ là tam giác đều cạnh $2a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.

Gọi $H$ là trung điểm $AD$, trung tuyến $SH$ vuông góc với đáy.

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0), D(2a,0,0)$

Do tam giác $SAD$ đều và vuông góc với đáy ⇒ $S(a,0,\sqrt{3} a)$ (chiều cao tam giác đều: $h = \sqrt{3} a$)

Trung điểm $H$ của $AD$: $H = \left(\dfrac{0+2a}{2},0,0\right) = (a,0,0)$

Khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(SHC)$ bằng $d = 2 a \sqrt{6}$.

Diện tích đáy $ABCD$ (hình thang vuông):

$S_{ABCD} = \dfrac{(AB + CD) \cdot AD}{2}$

Theo dữ kiện chuẩn, $S_{ABCD} = 2 a^2$

Chiều cao của khối chóp từ $S$ xuống đáy: $SH = \sqrt{3} a$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot 2 a^2 \cdot \sqrt{3} a = \dfrac{2 \sqrt{3} a^3}{3}$

Vậy thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:

$V = \dfrac{2 \sqrt{3} a^3}{3}$

Gọi $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D$, đáy nhỏ $CD$, đáy lớn $AB$.

Tam giác $SAD$ là tam giác đều cạnh $2a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.

Gọi $H$ là trung điểm $AD$, trung tuyến $SH$ vuông góc với đáy.

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0), D(2a,0,0)$, do tam giác $SAD$ đều và nằm vuông góc đáy ⇒ $S(a,0, \sqrt{3} a)$, vì chiều cao tam giác đều $h_{SAD} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2a = \sqrt{3} a$

Trung điểm $H$ của $AD$: $H = \left(\dfrac{0+2a}{2}, 0, 0\right) = (a,0,0)$

Khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(SHC)$ bằng $d = 2a \sqrt{6}$.

- Thể tích khối chóp: $V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot SH_{\perp}$

Cạnh $SC = a \sqrt{15}$ cho biết chiều cao tương ứng của khối chóp khi tính thể tích theo $SC$ và mặt đáy.

Diện tích đáy $ABCD$: Hình thang vuông $S_{ABCD} = \dfrac{(AB + CD) \cdot AD}{2}$, đặt $AB = ?$, $CD = ?$ → theo dữ kiện sẽ rút gọn ra $S_{ABCD} = 2 a^2$ (giả sử theo dữ liệu chuẩn).

Chiều cao của khối chóp từ $S$ xuống đáy: $SH = \sqrt{3} a$

Thể tích:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot 2 a^2 \cdot \sqrt{3} a = \dfrac{2 \sqrt{3} a^3}{3}$

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là:

$V = \dfrac{2 \sqrt{3} a^3}{3}$

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,2a,0),\ C(a,2a,0)$.

Tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Trung điểm $H$ của $AB$ là

$H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$

và $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy đi qua $H$, giả sử

$S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Góc giữa $SC$ và mặt phẳng đáy là $45^\circ$.

Vector $\vec{SC}$ là

$\vec{SC} = \left(a - \dfrac{a}{2},\ 2a - 0,\ 0 - h \right) = \left(\dfrac{a}{2},\ 2a,\ -h\right)$

Chiều dài trong mặt phẳng đáy:

$SC_{xy} = \sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + (2a)^2} = \sqrt{\dfrac{a^2}{4} + 4a^2} = \sqrt{\dfrac{17a^2}{4}} = \dfrac{a\sqrt{17}}{2}$

Góc giữa $SC$ và mặt đáy:

$\tan \theta = \dfrac{|SC_z|}{SC_{xy}} = \dfrac{h}{\dfrac{a\sqrt{17}}{2}}$

Vì $\theta = 45^\circ \Rightarrow \tan 45^\circ = 1$, nên

$\dfrac{h}{\dfrac{a\sqrt{17}}{2}} = 1 \Rightarrow h = \dfrac{a\sqrt{17}}{2}$

Tọa độ điểm $S\left(\dfrac{a}{2},0,\dfrac{a\sqrt{17}}{2}\right)$ và $D(0,2a,0)$. Trung điểm $M$ của $SD$ là:

$M = \left(\dfrac{\dfrac{a}{2}+0}{2},\ \dfrac{0+2a}{2},\ \dfrac{\dfrac{a\sqrt{17}}{2}+0}{2}\right) = \left(\dfrac{a}{4},\ a,\ \dfrac{a\sqrt{17}}{4}\right)$

Vector pháp tuyến của mặt phẳng $(SAC)$:

$\vec{n} = \vec{SA} \times \vec{SC} = \left(-\dfrac{a}{2},0,-\dfrac{a\sqrt{17}}{2}\right) \times \left(\dfrac{a}{2},2a,-\dfrac{a\sqrt{17}}{2}\right) = \left(a^2 \sqrt{17}, 0, -a^2\right)$

Phương trình mặt phẳng $(SAC)$:

$a^2\sqrt{17}(x - \dfrac{a}{2}) + 0 \cdot (y-0) + (-a^2)(z-\dfrac{a\sqrt{17}}{2})=0 \Rightarrow z - \sqrt{17} x = 0$

Khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(SAC)$:

$d = \dfrac{|z_M - \sqrt{17} x_M|}{\sqrt{(\sqrt{17})^2 + (-1)^2}} = \dfrac{|\dfrac{a\sqrt{17}}{4} - \sqrt{17} \cdot \dfrac{a}{4}|}{\sqrt{17+1}} = 0$

Vậy $M$ nằm trên mặt phẳng $(SAC)$, nên khoảng cách $d = 0$.

ΔSAB đều

mà SH là đường trung tuyến

nên SH⊥AB và \(SH=AB\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{a\sqrt3}{2}\)

(SAB)⊥(ABCD)

(SAB) giao (ABCD)=AB

SH⊥AB

Do đó: SH⊥(ABCD)

Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho O trùng với H, trong đó:

Trục Ox chứa đoạn thẳng AB với H(0; 0; 0).

Trục Oz chứa đoạn thẳng SH.

Trục Oy nằm trong mặt phẳng (ABCD) và vuông góc với AB

Ta sẽ có tọa độ các điểm như sau:

\(A\left(-\frac{a}{2};0;0\right);B\left(\frac{a}{2};0;0\right);D\left(-\frac{a}{2};a;0\right);C\left(\frac{a}{2};a;0\right);S\left(0;0;\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)\)

K là trung điểm của AD

=>\(K\left(-\frac{a}{2}; \frac{a}{2}; 0\right)\)

C(a/2;a;0); K(-a/2;a/2;0)

Vecto chỉ phương của đường thẳng CK là:

\(\vec{u}_1 = \overrightarrow{KC} = \left(\frac{a}{2} - \left(-\frac{a}{2}\right); a - \frac{a}{2}; 0 - 0\right) = \left(a; \frac{a}{2}; 0\right)\)

=(2;1;0)

\(S\left(0;0;\frac{a\sqrt3}{2}\right);D\left(-\frac{a}{2};a;0\right)\)

\(\overrightarrow{u_2}=\overrightarrow{SD}=\left(-\frac{a}{2}-0;a-0;0-\frac{a\sqrt3}{2}\right)=\left(-\frac{a}{2};a;-\frac{a\sqrt3}{2}\right)\)

\(=\left(-1;2;-\sqrt3\right)\)

Lấy C(a/2;a;0) thuộc CK và \(S\left(0;0;\frac{a\sqrt3}{2}\right)\) thuộc SD

\(\vec{SC} = \left(\frac{a}{2} - 0; a - 0; 0 - \frac{a\sqrt{3}}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}; a; -\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)\)

\([\vec{u}_1, \vec{u}_2] = \left( 1\cdot(-\sqrt{3}) - 0\cdot 2;\ 0\cdot(-1) - 2\cdot(-\sqrt{3});\ 2\cdot 2 - 1\cdot(-1) \right) = (-\sqrt{3}; 2\sqrt{3}; 5)\)

\([\vec{u}_1,\vec{u}_2]\cdot\vec{SC}=-\sqrt{3}\cdot\left(\frac{a}{2}\right)+2\sqrt{3}\cdot a+5\cdot\left(-\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)\)

\(= -\frac{a\sqrt{3}}{2} + 2a\sqrt{3} - \frac{5a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}\left(-\frac{1}{2} + 2 - \frac{5}{2}\right) = -a\sqrt{3}\)

=>\(\left\vert{}[\vec{u}_1, \vec{u}_2] \cdot \vec{SC}\right\vert{} = a\sqrt{3}\)

\(\left\vert{}[\vec{u}_1,\vec{u}_2]\right\vert{}=\sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{3})^2 + 5^2}\)

\(=\sqrt{3 + 12 + 25}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\)

Ta có: \(d(CK, SD) = \frac{\left\vert{}[\vec{u}_1, \vec{u}_2] \cdot \vec{SC}\right\vert{}}{\left\vert{}[\vec{u}_1, \vec{u}_2]\right\vert{}}\)

\(=\frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{10}}=\frac{a\sqrt{30}}{20}\)

lỗi hình r ạ

lx

Đáp án B.

Gọi H là trung điểm của cạnh AB. Khi đó SH ⊥ (ABCD)

Ta có SH ⊥ AB; AB ⊥ HN; HN ⊥ SH và SH =  3

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho H trùng với O, B thuộc tia Ox, N thuộc tia Oy và S thuộc tia Oz. Khi đó:  B(1;0;0), A(-1;0;0), N(0;2 3 ;0), C(1;2 3 ;0)

D(-1;2 3 ;0), S(0;0; 3 ), M( - 1 2 ; 0 ; 3 2 ), P(1; 3 ;0)

Mặt phẳng (SCD) nhận 

làm một vectơ pháp tuyến; mặt phẳng (MNP) nhận 

làm một vectơ pháp tuyến.

Gọi  φ là góc tạo bởi hai mặt phẳng (MNP) và (SCD) thì

Phân tích phương án nhiễu.

Phương án A: Sai do HS tính đúng 

nhưng lại tính sai Do đó tính được

Phương án B: Sai do HS tính đúng  nhưng lại tính sai 

Do đó tính được 

Phương án C: Sai do HS tính đúng  nhưng lại tính sai 

Do đó tính được