Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a)
Ta có $SO \perp (ABCD)$ nên: $SO \perp AD$ và $SO \perp AB$.
Mà $AB \perp AD$ nên: $BC \parallel AD \Rightarrow BC \perp AB$.
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ nên: $OM \parallel AB$.
Suy ra: $OM \perp AD$.
Xét hai đường thẳng trong mặt phẳng $(SAD)$:
$AD,\ SA$.
Ta có: $SM$ đi qua $S$ và $M$.
Xét tam giác $SOM$:
$SO \perp OM$ nên $\triangle SOM$ vuông tại $O$.
Mặt khác: $OM \parallel AB \Rightarrow OM \perp AD$.
Suy ra: $SM \perp AD$.
Ta lại có:
$SO \perp AD$ và $SM$ nằm trong mặt phẳng $(SOM)$ nên: $SM \perp SA$.
Vậy:
$SM \perp AD$ và $SM \perp SA$
$\Rightarrow SM \perp (SAD)$.
b)
Gọi $\varphi$ là góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(SAD)$.
Khi đó: $\sin \varphi = \dfrac{d(C,(SAD))}{SC}$.
Tính các độ dài:
Ta có: $AB = a,\ AD = 2a \Rightarrow AC = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = a\sqrt{5}$.
$OC = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{a\sqrt{5}}{2}$.
Trong tam giác vuông $SOC$: $SO = \dfrac{a}{2}$.
$SC^2 = SO^2 + OC^2 = \dfrac{a^2}{4} + \dfrac{5a^2}{4} = \dfrac{6a^2}{4}$
$\Rightarrow SC = \dfrac{a\sqrt{6}}{2}$.
Tính khoảng cách từ $C$ đến $(SAD)$:
Do $(SAD)$ chứa $AD$ và $SO$ nên là mặt phẳng vuông góc đáy theo phương $AD$.
Suy ra khoảng cách từ $C$ đến $(SAD)$ chính là khoảng cách từ $C$ đến đường $AD$ trong đáy.
Mà hình chữ nhật nên: $d(C,AD) = AB = a$.
Do đó: $\sin \varphi = \dfrac{a}{\dfrac{a\sqrt{6}}{2}} = \dfrac{2}{\sqrt{6}} = \dfrac{\sqrt{6}}{3}$.
a/ Ta có: \(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BD\)
Mà \(BD\perp AC\) (hai đường chéo hình thoi)
\(\Rightarrow BD\perp\left(SAC\right)\)
c/ Do \(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow AC\) là hình chiếu của SC lên (ABCD)
\(\Rightarrow\widehat{SCA}\) là góc giữa SC và (ABCD)
\(\widehat{ABC}=60^0\Rightarrow\Delta ABC\) đều \(\Rightarrow AC=a\)
\(tan\widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow\widehat{SCA}=60^0\)
Chọn hệ trục tọa độ:
$A(0,0,0),\ B(a\sqrt{6},0,0),\ D(0,a\sqrt{6},0),\ C(a\sqrt{6},a\sqrt{6},0)$
Vì $(SAD)$ và $(SAC)$ cùng vuông góc với đáy nên $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc đáy qua $A$, đặt: $S(0,0,h)$
Tính $SC$: $SC^2 = (a\sqrt{6})^2 + (a\sqrt{6})^2 + h^2 = 12a^2 + h^2$
Theo đề: $SC = 4\sqrt{3}a \Rightarrow SC^2 = 48a^2$
$\Rightarrow 12a^2 + h^2 = 48a^2 \Rightarrow h^2 = 36a^2 \Rightarrow h = 6a$ ⇒ $S(0,0,6a)$
Trung điểm $M$ của $SC$: $M\left(\dfrac{a\sqrt{6}}{2}, \dfrac{a\sqrt{6}}{2}, 3a\right)$
Xét đường thẳng $BM$:
$\vec{BM} = \left(\dfrac{a\sqrt{6}}{2} - a\sqrt{6}, \dfrac{a\sqrt{6}}{2} - 0, 3a - 0\right) = \left(-\dfrac{a\sqrt{6}}{2}, \dfrac{a\sqrt{6}}{2}, 3a\right)$
Mặt phẳng $(ACD)$ chính là mặt đáy nên có vectơ pháp tuyến: $\vec{n} = (0,0,1)$
Góc giữa đường thẳng $BM$ và mặt phẳng $(ACD)$:
$\sin \varphi = \dfrac{|\vec{BM} \cdot \vec{n}|}{|\vec{BM}|} = \dfrac{3a}{\sqrt{\dfrac{6a^2}{4} + \dfrac{6a^2}{4} + 9a^2}} = \dfrac{3a}{\sqrt{3a^2 + 9a^2}} = \dfrac{3a}{a\sqrt{12}} = \dfrac{3}{2\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
Suy ra: $\varphi = 60^\circ$