Chọn đáp án D.

Đáp án là A

          Gọi H  là trung điểm  A B .

          Ta có  S A B ⊥ A B C D S A B ∩ A B C D = A B S H ⊂ S A B ; S H ⊥ A B ⇒ S H ⊥ A B C D .

          Khi đó:  V S . A B C D = 1 3 S H . S A B C D = 1 3 . a 3 2 . a 2 = a 3 3 6 .

Đáp án B.

Gọi I là trung điểm của   A B ⇒ S I ⊥ A B ⇒ S I ⊥ ( A B C D ) .

Tam giác SAB đều cạnh  a ⇒ S I = a 3 2 .    Diện tích hình vuông ABCD là   S A B C D = a 2 .

Vậy thể tích cần tính là   V S . A B C D = 1 3 . S I . S A B C D = a 2 3 . a 3 2 = a 3 3 6 .

Đáp án A

Phương pháp giải: Dựng chiều cao, xác định góc và độ dài đường cao của khối chóp

Lời giải:

Gọi M là trung điểm của AB 

Và H là hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD)

Khi đó (SAB); (ABCD) = (SM;MH) = SMH = 60⁰

△ SMH vuông tại H, có 

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là 

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$.

Vì tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, trung điểm $H$ của $AB$ là $H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$, nên $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Thể tích đã cho: $V = \dfrac{a^3 \sqrt{15}}{6}$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$

Thể tích: $V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z \Rightarrow \dfrac{a^2 \cdot h}{3} = \dfrac{a^3 \sqrt{15}}{6} \Rightarrow h = \dfrac{a \sqrt{15}}{2}$

Tọa độ $S\left(\dfrac{a}{2},0,\dfrac{a\sqrt{15}}{2}\right)$ và $C(a,a,0)$

Vector $\vec{SC} = (a - \dfrac{a}{2}, a - 0, 0 - \dfrac{a\sqrt{15}}{2}) = \left(\dfrac{a}{2}, a, -\dfrac{a\sqrt{15}}{2}\right)$

Vector pháp tuyến đáy: $\vec{n} = (0,0,1)$

Góc $\theta$ giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy:

$\cos \theta = \dfrac{|\vec{SC} \cdot \vec{n}|}{|\vec{SC}| \cdot |\vec{n}|} = \dfrac{\left| -\dfrac{a\sqrt{15}}{2} \right|}{\sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + a^2 + \left(\dfrac{a\sqrt{15}}{2}\right)^2}} = \dfrac{\dfrac{a\sqrt{15}}{2}}{\sqrt{\dfrac{a^2}{4} + a^2 + \dfrac{15 a^2}{4}}} = \dfrac{\dfrac{a\sqrt{15}}{2}}{\sqrt{ \dfrac{20 a^2}{4}}} = \dfrac{\dfrac{a\sqrt{15}}{2}}{\sqrt{5} a} = \dfrac{\sqrt{15}/2}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Vậy: $\theta = 30^\circ$

Chọn A.

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$.

Vì tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, trung điểm $H$ của $AB$ là $H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$, nên $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy đi qua $H$, giả sử $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Ta biết $SA = 2a$:

$SA^2 = \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h^2 = 4a^2 \Rightarrow h^2 = 4a^2 - \dfrac{a^2}{4} = \dfrac{15 a^2}{4} \Rightarrow h = \dfrac{a \sqrt{15}}{2}$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z = \dfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot \dfrac{a \sqrt{15}}{2} = \dfrac{a^3 \sqrt{15}}{6}$

Vậy: $V = \dfrac{a^3 \sqrt{15}}{6}$

Chọn A.

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$.

Tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, trung điểm $H$ của $AB$ là $H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$, nên $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy đi qua $H$, giả sử $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Góc giữa mặt phẳng $(SCD)$ và đáy bằng $60^\circ$, tức:

$\cos 60^\circ = \dfrac{|n_{SCD} \cdot n_{ABCD}|}{|n_{SCD}| \cdot |n_{ABCD}|} = \dfrac{1}{2}$

Vector pháp tuyến của đáy: $n_{ABCD} = (0,0,1)$

Vector pháp tuyến của $(SCD)$: $n_{SCD} = \vec{SC} \times \vec{SD}$

$\vec{SC} = \left(a - \dfrac{a}{2}, a - 0, 0 - h\right) = \left(\dfrac{a}{2}, a, -h\right)$

$\vec{SD} = \left(0 - \dfrac{a}{2}, a - 0, 0 - h\right) = \left(-\dfrac{a}{2}, a, -h\right)$

$\vec{SC} \times \vec{SD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \dfrac{a}{2} & a & -h \\ -\dfrac{a}{2} & a & -h \end{vmatrix} = (0, ah, a^2)$

$\cos \theta = \dfrac{|n_{SCD} \cdot n_{ABCD}|}{|n_{SCD}|} = \dfrac{|a^2|}{\sqrt{0^2 + (ah)^2 + (a^2)^2}} = \dfrac{a^2}{a\sqrt{h^2 + a^2}} = \dfrac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}}$

Theo đề: $\cos \theta = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \sqrt{h^2 + a^2} = 2a \Rightarrow h^2 = 3a^2 \Rightarrow h = a \sqrt{3}$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z = \dfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot a \sqrt{3} = \dfrac{a^3 \sqrt{3}}{3}$

Vậy: $V = \dfrac{a^3 \sqrt{3}}{3}$

Chọn C.

Gọi H là trung điểm của AB, suy ra A H ⊥ A B C D .

Gọi G là trọng tâm tam giác ∆SAB và O là tâm hình vuông ABCD.

Từ G kẻ GI//HO suy ra GI là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ∆SAB và từ O kẻ OI//SH thì OI là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.

Ta có hai đường này cùng nằm trong mặt phẳng và cắt nhau tại I.

Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

R = S I = S G 2 + G I 2 = a 21 6 .

Suy ra thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD là  V = 4 3 π R 3 = 7 21 54 π a 3

Đáp án A

Đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ nên tâm $O$ của hình vuông là giao điểm hai đường chéo:

$OA = OB = OC = OD = \dfrac{a\sqrt2}{2}$.

Tam giác $SAB$ đều cạnh $a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với $(ABCD)$ nên:

$SA = SB = AB = a$ và $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với $(ABCD)$ tại trung điểm $M$ của $AB$.

Trong tam giác đều $SAB$: $SM = \dfrac{\sqrt3}{2}a$.

Mặt khác: $OM = \dfrac{a}{2}$.

Suy ra: $SO^2 = SM^2 + OM^2= \dfrac{3a^2}{4} + \dfrac{a^2}{4}= a^2 \Rightarrow SO = a$.

Tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm $I$ của $SO$ nên:

$R = \dfrac{SO}{2} = \dfrac{a}{2}$.

Thể tích khối cầu:

$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{a}{2}\right)^3= \dfrac{\pi a^3}{6}$.

Vậy $V = \dfrac{\pi a^3}{6}$.