Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a; ΔSAB đều
mà SH là đường trung tuyến
nên SH⊥AB
(SAB)⊥(ABCD)
SH⊂(SAB); AB⊂(ABCD)
SH⊥AB
Do đó: SH⊥(ABCD)
S A B C D H K O M
Trong mp(SAB) từ S dựng dường vuông góc với AB cắt AB tại H
Ta có
\(\left(SAB\right)\perp\left(ABCD\right)\) và AB là giao tuyến của 2 mp
\(SH\perp AB\)
\(\Rightarrow SH\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SH\perp CK\) (1)
Ta có AB=BC=CD=AD=a (gt)
DH cắt CK tại O
Xét tg vuông ADH và tg vuông DCK
AD=CD=a
\(AH=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{a}{2}\)
\(DK=\dfrac{AD}{2}=\dfrac{a}{2}\)
=> tg ADK = tg DCK \(\Rightarrow\widehat{AHD}=\widehat{DKC}\)
Mà \(\widehat{ADH}+\widehat{AHD}=90^o\)
\(\Rightarrow\widehat{ADH}+\widehat{DKC}=90^o\)
=> tg DOK vuông tạo O \(\Rightarrow CK\perp DH\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow CK\perp\left(SDH\right)\)
Trong mp (SDH) từ O dựng đường thẳng vuông góc với SD cắt SD tại M
Ta có \(CK\perp\left(SDH\right);OM\in\left(SDH\right)\Rightarrow CK\perp OM\)
=> OM cùng vuông góc với SD và CK => OM là khoảng cách giữa SD và CK
Do SAB là tg đều => SA=SB=AB=a
Xét tg vuông SAH
\(SH=\sqrt{SA^2-AH^2}=\sqrt{a^2-\dfrac{a^2}{4}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)
Xét tg vuông ADH
\(DH=\sqrt{AD^2+AH^2}=\sqrt{a^2+\dfrac{a^2}{4}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}\)
Ta có \(SH\perp\left(ABCD\right)\left(cmt\right);DH\in\left(ABCD\right)\Rightarrow SH\perp DH\)
Xét tg vuông SDH
\(SD=\sqrt{SH^2+DH^2}=\sqrt{\dfrac{3a^2}{4}+\dfrac{5a^2}{4}}=a\sqrt{2}\)
Xét tg vuông ODK và tg vuông ADH có chung \(\widehat{ADH}\)
=> tg ODK đồng dạng với tg ADH
\(\Rightarrow\dfrac{DO}{AD}=\dfrac{DK}{DH}\Rightarrow DO=\dfrac{AD.DK}{DH}=\dfrac{a.\dfrac{a}{2}}{\dfrac{a\sqrt{5}}{2}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{5}\)
Xét tg vuông ODM và tg vuông SDH có chung \(\widehat{SDH}\)
=> tg ODM đồng dạng với tg SDH
\(\Rightarrow\dfrac{OM}{SH}=\dfrac{DO}{SD}\Rightarrow OM=\dfrac{SH.DO}{SD}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{a\sqrt{5}}{5}}{a\sqrt{2}}\)
Phần tính toán bạn kiểm tra lại nhé, đại khái cách làm là như thế
Gọi H là trung điểm AB thì \(SH\perp\left(ABCD\right)\)
Gọi E là trung điểm DH thì NE là đường trung bình trong tam giác SHD nên \(NE||SH\)
Đồng thời ME là đường trung bình trong hình thang BCDH nên \(ME||AB\)
\(\Rightarrow\left(MNE\right)||\left(SAB\right)\)
\(\Rightarrow d\left(AP,MN\right)=d\left(\left(MNE\right);\left(SAB\right)\right)=BM=\dfrac{a}{2}\)
Tam giác SAB đều \(\Rightarrow SH\perp AB\)
Mà \(\left\{{}\begin{matrix}AB=\left(SAB\right)\cap\left(ABCD\right)\\\left(SAB\right)\perp\left(ABCD\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow SH\perp\left(ABCD\right)\)
Gọi N là trung điểm SC \(\Rightarrow MN\) là đường trung bình tam giác SCD
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MN||CD\\MN=\dfrac{1}{2}CD\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MN||AH\\MN=AH\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AMNH\) là hbh
\(\Rightarrow AM||HN\Rightarrow AM||\left(SHC\right)\)
\(\Rightarrow d\left(AM;SC\right)=d\left(AM;\left(SHC\right)\right)=d\left(A;\left(SHC\right)\right)\)
Mặt khác H là trung điểm AB \(\Rightarrow d\left(A;\left(SHC\right)\right)=d\left(B;\left(SHC\right)\right)\)
Từ B kẻ \(BE\perp HC\Rightarrow BE\perp\left(SHC\right)\) (do \(SH\perp BE\))
\(\Rightarrow BE=d\left(B;\left(SHC\right)\right)\)
Hệ thức lượng: \(BE=\dfrac{BH.BC}{CH}=\dfrac{BH.BC}{\sqrt{BH^2+BC^2}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{5}\)
b.
Từ D kẻ \(DF\perp HC\Rightarrow DF\perp\left(SHC\right)\) (do \(SH\perp DF\))
\(\Rightarrow DF=d\left(D;\left(SHC\right)\right)\)
\(DF=DC.cos\widehat{FDC}=DC.cos\widehat{BCH}=\dfrac{DC.BC}{CH}=\dfrac{DC.BC}{\sqrt{BC^2+BH^2}}=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}\)
1: BC vuông góc AB
BC vuông góc SA
=>BC vuông góc (SAB)
=>(SAB) vuông góc (SBC)
a.
Do tam giác SAB đều \(\Rightarrow SB=AB=a\)
Trong tam giác SBC ta có:
\(SB^2+BC^2=2a^2=SC^2\)
\(\Rightarrow\Delta SBC\) vuông tại B (pitago đảo)
\(\Rightarrow BC\perp SB\)
Mà \(BC\perp AB\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\)
Do \(SH\in\left(SAB\right)\Rightarrow BC\perp SH\) (1)
Lại có SAB là tam giác đều, mà SH là đường trung tuyến (H là trung điểm AB)
\(\Rightarrow SH\) đồng thời là đường cao hay \(SH\perp AB\) (2)
(1);(2) \(\Rightarrow SH\perp\left(ABCD\right)\)
b.
\(SH\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow\) HM là hình chiếu vuông góc của SM lên (ABCD)
\(\Rightarrow\widehat{SMH}\) là góc giữa SM và (ABCD) hay \(\alpha=\widehat{SMH}\)
\(SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) (trung tuyến tam giác đều cạnh a)
\(HM=BC=a\) \(\Rightarrow tan\alpha=\dfrac{SH}{HM}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
c.
Do H là trung điểm AB, K là trung điểm AD \(\Rightarrow\) HK là đường trung bình tam giác ABD
\(\Rightarrow HK||BD\)
Mà \(BD\perp AC\) (hai đường chéo hình vuông)
\(\Rightarrow HK\perp AC\) (3)
Lại có \(SH\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SH\perp AC\) (4)
(3);(4) \(\Rightarrow AC\perp\left(SHK\right)\Rightarrow AC\perp SK\)
ΔSAB đều
mà SH là đường trung tuyến
nên SH⊥AB và \(SH=AB\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{a\sqrt3}{2}\)
(SAB)⊥(ABCD)
(SAB) giao (ABCD)=AB
SH⊥AB
Do đó: SH⊥(ABCD)
Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho O trùng với H, trong đó:
Trục Ox chứa đoạn thẳng AB với H(0; 0; 0).
Trục Oz chứa đoạn thẳng SH.
Trục Oy nằm trong mặt phẳng (ABCD) và vuông góc với AB
Ta sẽ có tọa độ các điểm như sau:
\(A\left(-\frac{a}{2};0;0\right);B\left(\frac{a}{2};0;0\right);D\left(-\frac{a}{2};a;0\right);C\left(\frac{a}{2};a;0\right);S\left(0;0;\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)\)
K là trung điểm của AD
=>\(K\left(-\frac{a}{2}; \frac{a}{2}; 0\right)\)
C(a/2;a;0); K(-a/2;a/2;0)
Vecto chỉ phương của đường thẳng CK là:
\(\vec{u}_1 = \overrightarrow{KC} = \left(\frac{a}{2} - \left(-\frac{a}{2}\right); a - \frac{a}{2}; 0 - 0\right) = \left(a; \frac{a}{2}; 0\right)\)
=(2;1;0)
\(S\left(0;0;\frac{a\sqrt3}{2}\right);D\left(-\frac{a}{2};a;0\right)\)
\(\overrightarrow{u_2}=\overrightarrow{SD}=\left(-\frac{a}{2}-0;a-0;0-\frac{a\sqrt3}{2}\right)=\left(-\frac{a}{2};a;-\frac{a\sqrt3}{2}\right)\)
\(=\left(-1;2;-\sqrt3\right)\)
Lấy C(a/2;a;0) thuộc CK và \(S\left(0;0;\frac{a\sqrt3}{2}\right)\) thuộc SD
\(\vec{SC} = \left(\frac{a}{2} - 0; a - 0; 0 - \frac{a\sqrt{3}}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}; a; -\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)\)
\([\vec{u}_1, \vec{u}_2] = \left( 1\cdot(-\sqrt{3}) - 0\cdot 2;\ 0\cdot(-1) - 2\cdot(-\sqrt{3});\ 2\cdot 2 - 1\cdot(-1) \right) = (-\sqrt{3}; 2\sqrt{3}; 5)\)
\([\vec{u}_1,\vec{u}_2]\cdot\vec{SC}=-\sqrt{3}\cdot\left(\frac{a}{2}\right)+2\sqrt{3}\cdot a+5\cdot\left(-\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)\)
\(= -\frac{a\sqrt{3}}{2} + 2a\sqrt{3} - \frac{5a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}\left(-\frac{1}{2} + 2 - \frac{5}{2}\right) = -a\sqrt{3}\)
=>\(\left\vert{}[\vec{u}_1, \vec{u}_2] \cdot \vec{SC}\right\vert{} = a\sqrt{3}\)
\(\left\vert{}[\vec{u}_1,\vec{u}_2]\right\vert{}=\sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{3})^2 + 5^2}\)
\(=\sqrt{3 + 12 + 25}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\)
Ta có: \(d(CK, SD) = \frac{\left\vert{}[\vec{u}_1, \vec{u}_2] \cdot \vec{SC}\right\vert{}}{\left\vert{}[\vec{u}_1, \vec{u}_2]\right\vert{}}\)
\(=\frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{10}}=\frac{a\sqrt{30}}{20}\)