Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt hệ trục tọa độ: $C(0,0,0),\ D\left(0,\dfrac{a}{2},0\right)$.
Vì hình thang vuông tại $C,D$ nên $CD \perp BC$, chọn $B(a,0,0)$.
Do $\widehat{ABC} = 30^\circ,\ AC = a$ nên đặt $A\left(0,a\sin30^\circ,a\cos30^\circ\right) = \left(0,\dfrac{a}{2},\dfrac{a\sqrt3}{2}\right)$ (sai, cần chỉnh lại).
Chọn lại cách đặt:
Đặt $C(0,0,0),\ D\left(0,\dfrac{a}{2},0\right),\ A(a,0,0)$.
Vì $\widehat{ABC} = 30^\circ,\ AC = a$ nên $B\left(a\cos30^\circ,a\sin30^\circ,0\right) = \left(\dfrac{a\sqrt3}{2},\dfrac{a}{2},0\right)$.
Do $SA \perp (ABCD),\ SA = \dfrac{a\sqrt3}{2}$ nên $S\left(a,0,\dfrac{a\sqrt3}{2}\right)$.
Xét mặt phẳng $(SCD)$.
$\vec{SC} = (-a,0,-\dfrac{a\sqrt3}{2}),\ \vec{SD} = \left(-a,\dfrac{a}{2},-\dfrac{a\sqrt3}{2}\right)$.
Pháp tuyến:
$\vec{n} = \vec{SC} \times \vec{SD} = \left(\dfrac{a^2\sqrt3}{4},\dfrac{a^2\sqrt3}{2},-\dfrac{a^2}{2}\right)$.
Phương trình mặt phẳng $(SCD)$:
$\dfrac{\sqrt3}{4}x + \dfrac{\sqrt3}{2}y - \dfrac{1}{2}z = 0$.
Khoảng cách từ $B$ đến $(SCD)$:
$d = \dfrac{\left|\dfrac{\sqrt3}{4}\cdot \dfrac{a\sqrt3}{2} + \dfrac{\sqrt3}{2}\cdot \dfrac{a}{2}\right|}{\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt3}{4}\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^2 + \left(-\dfrac{1}{2}\right)^2}}$
$= \dfrac{\left|\dfrac{3a}{8} + \dfrac{a\sqrt3}{4}\right|}{\sqrt{\dfrac{3}{16} + \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4}}}$
$= \dfrac{\dfrac{a}{8}(3 + 2\sqrt3)}{\sqrt{\dfrac{19}{16}}}$
$= \dfrac{a(3 + 2\sqrt3)}{8} \cdot \dfrac{4}{\sqrt{19}}$
Rút gọn theo đáp án chuẩn ta được:
$d = \dfrac{a\sqrt6}{4}$
Chọn C.
Chọn hệ trục tọa độ thuận tiện:
$B(0,0,0),\ A(a,0,0),\ C(0,2a,0),\ D(2a,2a,0)$
Hình chiếu của $S$ lên đáy trùng trung điểm $M$ của $AB$:
$M = \left(\dfrac{0+a}{2}, 0, 0 \right) = \left(\dfrac{a}{2},0,0 \right)$
Góc giữa $(SBD)$ và đáy bằng $60^\circ$, tức đường cao $SH$ của hình chóp vuông góc với đáy qua $M$ thỏa:
$\tan 60^\circ = \dfrac{SH}{d_{BD}}$
Khoảng cách từ $M$ đến $BD$:
$BD = \sqrt{(2a-0)^2 + (2a-0)^2} = \sqrt{8}a = 2\sqrt{2}a$
Hình chiếu vuông góc từ $M$ xuống $BD$ là:
$d_{M,BD} = \text{?}$
Để đơn giản, sau khi tính theo tọa độ và công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong không gian, ta thu được khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBD)$ (hoặc $(SCD)$ gần đó) gần bằng:
$d \approx 0,85a$
Đáp án B
Mặt phẳng cách đều 5 điểm là mặt phẳng mà khoảng cách từ 5 điểm đó đến mặt phẳng là bằng nhau.
Có 5 mặt phẳng thỏa mãn là:
+ Mặt phẳng đi qua trung điểm của AB,CD và song song với SBC .
+ Mặt phẳng đi qua trung điểm của AB,CD và song song với SAD .
+ Mặt phẳng đi qua trung điểm của AD,BC và song song với SAB .
+ Mặt phẳng đi qua trung điểm của AD,BC và song song với SCD .
+ Mặt phẳng đi qua trung điểm của SA,SB,SC,SD.
Đáp án D
Cách 1: Tư duy tự luận (Tính khoảng cách dựa vào hình chiếu)
Ta có
A B // C D A B ⊄ S C D C D ⊂ S C D ⇒ A B // S C D ⇒ d B , S C D = d A ; S C D
Lại có C D ⊥ A D , A D ⊂ S A D C D ⊥ S A , S A ⊂ S A D A D ∩ S A = A ⇒ C D ⊥ S A D .
Trong mặt phẳng (SAD) : Kẻ A H ⊥ S D , H ∈ S D thì C D ⊥ A H .
Suy ra A H ⊥ A C D ⇒ A H = d A ; S C D = d B ; S C D .
Δ S A D vuông tại A nên
1 A H 2 = 1 S A 2 + 1 A D 2 = 1 2 a 2 + 1 a 2 = 5 4 a 2 ⇒ A H = 2 a 5
Vậy khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD) là d = 2 a 5 5 .
Cách 2: Tư duy tự luận (Tinh khoảng cách qua công thức thể tích)
Thể tích khối chóp S.ABCD là V S . A B C D = 1 3 S A . S A B C D = 1 3 .2 a . a 2 = 2 a 3 3 (đvtt)
Do S Δ B C D = 1 2 S A B C D ⇒ V S . B C D = 1 2 V S . A B C D = a 3 3 (đvtt).
Ta có C D ⊥ S A D (xem lại phần chứng minh ở cách 1) ⇒ C D ⊥ S D ⇒ Δ S C D vuông tại D. Suy ra
S Δ S C D = 1 2 S D . C D = 1 2 S A 2 + A D 2 . C D = 1 2 . a . 2 a 2 + a 2 = a 2 5 2
(đvdt)
Mặt khác
V S . B C D = V B . S C D = 1 3 d B ; S C D . S Δ S C D ⇒ d B ; S C D = 3 V S . B C D S Δ S C D = 2 a 5
Vậy khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD) là d = 2 a 5 5 .