Đáp án D.

Phương pháp: 

- Xác định chân đường cao của đỉnh S đến mặt phẳng đáy.

- Tính thể tích khối chóp: V = 1 3 S h  

Cách giải:

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD. 

Tam giác SAB đều, tam giác SCD cân tại S nên S I ⊥ A B ,    S J ⊥ C D  

Mà A B / / C D ⇒ A B ,   C D ⊥ S IJ  

Dựng S H ⊥ I J ,    H ∈ I J ⇒ S H ⊥ A B C D  (do S H ⊥ I J  và S H ⊂ SIJ ⊥ C D )

Trong (ABCD), kẻ

B M ⊥ A H ,    M ∈ C D , A H ∩ B M = T .

Khi đó, điểm M thỏa mãn điều kiện đề bài.

+) Δ S A B  đều, cạnh a ⇒ S I = a 3 2  

+) Δ S C D  vuông cân tại S,

C D = a ⇒ S J = C D 2 = a 2  

+) ABCD là hình vuông cạnh a

⇒ IJ = a  

Tam giac SIJ có:

IJ 2 = S I 2 + S J 2 ⇒ Δ S I J  vuông tại S.

Mà

S H ⊥ IJ ⇒ SI 2 = I H . IJ ⇒ a 3 2 2 = I H . a ⇒ I H = 3 a 4  

Và

1 S H 2 = 1 S I 2 + 1 S J 2 = 1 a 3 2 2 + 1 a 2 2 = 16 3 a 2 ⇒ S H = a 3 4  

Dễ dàng chứng minh Δ A I H  đồng dạng tam giác

Δ B C M ⇒ S A I H S B M C = A I B C 2 = 1 4 ⇒ S B C M = 4 S A I H = 4. 1 2 . a 2 . 3 a 4 = 3 a 2 4  

S B D M = S B C M − S B C D = 3 4 a 2 − 1 2 a 2 = a 2 4  

Thể tích khối chóp S.BDM:

V S . B D M = 1 3 . S H . S B D M = 1 3 . a 3 4 . a 2 4 = 3 a 3 48  

Đáp án A

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$.

Tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, trung điểm $H$ của $AB$ là $H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$, nên $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy đi qua $H$, giả sử $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Góc giữa mặt phẳng $(SCD)$ và đáy bằng $60^\circ$, tức:

$\cos 60^\circ = \dfrac{|n_{SCD} \cdot n_{ABCD}|}{|n_{SCD}| \cdot |n_{ABCD}|} = \dfrac{1}{2}$

Vector pháp tuyến của đáy: $n_{ABCD} = (0,0,1)$

Vector pháp tuyến của $(SCD)$: $n_{SCD} = \vec{SC} \times \vec{SD}$

$\vec{SC} = \left(a - \dfrac{a}{2}, a - 0, 0 - h\right) = \left(\dfrac{a}{2}, a, -h\right)$

$\vec{SD} = \left(0 - \dfrac{a}{2}, a - 0, 0 - h\right) = \left(-\dfrac{a}{2}, a, -h\right)$

$\vec{SC} \times \vec{SD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \dfrac{a}{2} & a & -h \\ -\dfrac{a}{2} & a & -h \end{vmatrix} = (0, ah, a^2)$

$\cos \theta = \dfrac{|n_{SCD} \cdot n_{ABCD}|}{|n_{SCD}|} = \dfrac{|a^2|}{\sqrt{0^2 + (ah)^2 + (a^2)^2}} = \dfrac{a^2}{a\sqrt{h^2 + a^2}} = \dfrac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}}$

Theo đề: $\cos \theta = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \sqrt{h^2 + a^2} = 2a \Rightarrow h^2 = 3a^2 \Rightarrow h = a \sqrt{3}$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z = \dfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot a \sqrt{3} = \dfrac{a^3 \sqrt{3}}{3}$

Vậy: $V = \dfrac{a^3 \sqrt{3}}{3}$

Chọn C.

Đáp án B

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$

Tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, trung điểm $H$ của $AB$ là $H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$, nên $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy đi qua $H$, giả sử $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Vector $\vec{SC} = (a - a/2, a - 0, 0 - h) = (a/2, a, -h)$

Vector $\vec{SD} = (0 - a/2, a - 0, 0 - h) = (-a/2, a, -h)$

Vector pháp tuyến của $(SCD)$: $\vec{n} = \vec{SC} \times \vec{SD} = (0, ah, a^2)$

Vector pháp tuyến đáy: $n_{ABCD} = (0,0,1)$

$\cos \theta = \dfrac{| \vec{n} \cdot n_{ABCD} |}{|\vec{n}|} = \dfrac{a^2}{\sqrt{(ah)^2 + 0^2 + a^4}} = \dfrac{a^2}{\sqrt{a^2 h^2 + a^4}} = \dfrac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}}$

Theo đề: $\cos \theta = \dfrac{2}{\sqrt{19}} \Rightarrow \dfrac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}} = \dfrac{2}{\sqrt{19}} \Rightarrow \sqrt{h^2 + a^2} = \dfrac{\sqrt{19}}{2} a \Rightarrow h^2 + a^2 = \dfrac{19 a^2}{4} \Rightarrow h^2 = \dfrac{15 a^2}{4} \Rightarrow h = \dfrac{a \sqrt{15}}{2}$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z = \dfrac{1}{3} a^2 \cdot \dfrac{a \sqrt{15}}{2} = \dfrac{a^3 \sqrt{15}}{6}$

Vậy: $V = \dfrac{a^3 \sqrt{15}}{6}$

Chọn B.

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$.

Tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, trung điểm $H$ của $AB$ là $H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$, nên $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy đi qua $H$, giả sử $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Góc giữa mặt phẳng $(SAD)$ và đáy bằng $45^\circ$:

Vector $\vec{SA} = \left(0 - \dfrac{a}{2}, 0 - 0, 0 - h\right) = \left(-\dfrac{a}{2}, 0, -h\right)$

Vector $\vec{AD} = (0 - 0, a - 0, 0 - 0) = (0,a,0)$

Vector pháp tuyến của $(SAD)$: $\vec{n} = \vec{SA} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -a/2 & 0 & -h \\ 0 & a & 0 \end{vmatrix} = (ah, 0, -a^2/2)$

Vector pháp tuyến đáy: $n_{ABCD} = (0,0,1)$

$\cos 45^\circ = \dfrac{| \vec{n} \cdot n_{ABCD} |}{|\vec{n}|} = \dfrac{|-a^2/2|}{\sqrt{(ah)^2 + 0^2 + (a^2/2)^2}} = \dfrac{a^2/2}{\sqrt{a^2 h^2 + a^4/4}} = \dfrac{1}{\sqrt{1 + 4 h^2 / a^2}}$

Theo đề: $\cos 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{1 + 4 h^2 / a^2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow 1 + 4 h^2 / a^2 = 2 \Rightarrow h^2 = a^2/4 \Rightarrow h = a/2$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z = \dfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot \dfrac{a}{2} = \dfrac{a^3}{6}$

Vậy: $V = \dfrac{a^3}{6}$

Chọn B.

Đáp án C.

Ta có SAD là tam giác đều nên S H ⊥ A D  

Mặt khác S A D ⊥ A B C D ⇒ S H ⊥ A B C D .  

Dựng  B E ⊥ H C ,

do B E ⊥ S H ⇒ B E ⊥ S H C  

Do đó d = B E = 2 a 6 ; S H = a 3 ; A D = 2 a  

Do S C = a 15 ⇒ H C = S C 2 − S H 2 = 2 a 3 .  

Do S A H B + S C H D = 1 2 a A B + C D = S A B C D 2  

suy ra  V S . A B C D = 2 V S . H B C = 2 3 . S H . S B C H

= 3 2 a 3 . B E . C H 2 = 4 a 3 6 .

Đáp án C.