Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a)
Ta có $SO \perp (ABCD)$ nên: $SO \perp AD$ và $SO \perp AB$.
Mà $AB \perp AD$ nên: $BC \parallel AD \Rightarrow BC \perp AB$.
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ nên: $OM \parallel AB$.
Suy ra: $OM \perp AD$.
Xét hai đường thẳng trong mặt phẳng $(SAD)$:
$AD,\ SA$.
Ta có: $SM$ đi qua $S$ và $M$.
Xét tam giác $SOM$:
$SO \perp OM$ nên $\triangle SOM$ vuông tại $O$.
Mặt khác: $OM \parallel AB \Rightarrow OM \perp AD$.
Suy ra: $SM \perp AD$.
Ta lại có:
$SO \perp AD$ và $SM$ nằm trong mặt phẳng $(SOM)$ nên: $SM \perp SA$.
Vậy:
$SM \perp AD$ và $SM \perp SA$
$\Rightarrow SM \perp (SAD)$.
b)
Gọi $\varphi$ là góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(SAD)$.
Khi đó: $\sin \varphi = \dfrac{d(C,(SAD))}{SC}$.
Tính các độ dài:
Ta có: $AB = a,\ AD = 2a \Rightarrow AC = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = a\sqrt{5}$.
$OC = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{a\sqrt{5}}{2}$.
Trong tam giác vuông $SOC$: $SO = \dfrac{a}{2}$.
$SC^2 = SO^2 + OC^2 = \dfrac{a^2}{4} + \dfrac{5a^2}{4} = \dfrac{6a^2}{4}$
$\Rightarrow SC = \dfrac{a\sqrt{6}}{2}$.
Tính khoảng cách từ $C$ đến $(SAD)$:
Do $(SAD)$ chứa $AD$ và $SO$ nên là mặt phẳng vuông góc đáy theo phương $AD$.
Suy ra khoảng cách từ $C$ đến $(SAD)$ chính là khoảng cách từ $C$ đến đường $AD$ trong đáy.
Mà hình chữ nhật nên: $d(C,AD) = AB = a$.
Do đó: $\sin \varphi = \dfrac{a}{\dfrac{a\sqrt{6}}{2}} = \dfrac{2}{\sqrt{6}} = \dfrac{\sqrt{6}}{3}$.
a/ Ta có: \(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BD\)
Mà \(BD\perp AC\) (hai đường chéo hình thoi)
\(\Rightarrow BD\perp\left(SAC\right)\)
c/ Do \(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow AC\) là hình chiếu của SC lên (ABCD)
\(\Rightarrow\widehat{SCA}\) là góc giữa SC và (ABCD)
\(\widehat{ABC}=60^0\Rightarrow\Delta ABC\) đều \(\Rightarrow AC=a\)
\(tan\widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow\widehat{SCA}=60^0\)
Đáp án B.
Ta có AD//BC,
=> AD//(SBC)
=> d(AD;SC) = d(AD;(SBC)) = d(D;(SBC)).
Qua I kẻ đường thẳng song song với AD, cắt CD tại H.
Suy ra IH ⊥ CD
Từ CD ⊥ IH, CD ⊥ SI=> CD ⊥ (SIH)=> CD ⊥ SH
Suy ra
Lại có
Từ
Suy ra
Từ (1) và (2), suy ra
Vậy
Chọn hệ trục tọa độ:
$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$
Điểm $I \in AB$ sao cho $BI = 2AI \Rightarrow AI = \dfrac{a}{3}$ ⇒ $I\left(\dfrac{a}{3},0,0\right)$
Vì $I$ là hình chiếu của $S$ nên đặt:
$S\left(\dfrac{a}{3},0,h\right)$
Xét mặt phẳng $(SCD)$, góc giữa $(SCD)$ và đáy là $60^\circ$ ⇒ góc giữa $SC$ và hình chiếu của nó lên đáy là $60^\circ$:
$\sin 60^\circ = \dfrac{SI}{SC} = \dfrac{h}{\sqrt{\left(a - \dfrac{a}{3}\right)^2 + a^2 + h^2}}$
$\Rightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{h}{\sqrt{\dfrac{4a^2}{9} + a^2 + h^2}} = \dfrac{h}{\sqrt{\dfrac{13a^2}{9} + h^2}}$
Giải ra:
$\dfrac{3}{4} = \dfrac{h^2}{\dfrac{13a^2}{9} + h^2} \Rightarrow 3\left(\dfrac{13a^2}{9} + h^2\right) = 4h^2$
$\Rightarrow \dfrac{13a^2}{3} + 3h^2 = 4h^2 \Rightarrow h^2 = \dfrac{13a^2}{3} \Rightarrow h = \dfrac{a\sqrt{13}}{\sqrt{3}}$
Xét hai đường thẳng:
- $AD$: vectơ chỉ phương $\vec{u} = (0,a,0)$
- $SC$: vectơ chỉ phương $\vec{v} = \left(\dfrac{2a}{3}, a, -h\right)$
Chọn $\vec{AS} = \left(\dfrac{a}{3},0,h\right)$
Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau:
$d = \dfrac{|[\vec{AS}, \vec{u}, \vec{v}]|}{|\vec{u} \times \vec{v}|}$
Tính tích có hướng:
$\vec{u} \times \vec{v} = (0,a,0) \times \left(\dfrac{2a}{3}, a, -h\right) = (-ah, 0, -\dfrac{2a^2}{3})$
$|\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{a^2h^2 + \dfrac{4a^4}{9}} = a\sqrt{h^2 + \dfrac{4a^2}{9}}$
Tích hỗn tạp:
$[\vec{AS}, \vec{u}, \vec{v}] = \left|\begin{matrix}\dfrac{a}{3} & 0 & h \0 & a & 0 \\dfrac{2a}{3} & a & -h\end{matrix}\right| = -\dfrac{ah^2}{3} + \dfrac{2a^3}{3}$
Thay $h^2 = \dfrac{13a^2}{3}$:
$[\cdot] = -\dfrac{a}{3}\cdot \dfrac{13a^2}{3} + \dfrac{2a^3}{3} = \dfrac{a^3}{9}$
Suy ra:
$d = \dfrac{\dfrac{a^3}{9}}{a\sqrt{\dfrac{13a^2}{3} + \dfrac{4a^2}{9}}} = \dfrac{a^2/9}{a\sqrt{\dfrac{43a^2}{9}}} = \dfrac{a}{3\sqrt{43}}$
Rút gọn:
$d = \dfrac{a\sqrt{93}}{31}$