+ Xác định góc của SC với (SAD).

Hạ CE ⊥ AD, ta có E là trung điểm AD và CE ⊥ (SAD) nên ∠(CSE) = 30 o .

∠(CSE) cũng chính là góc giữa SC và mp(SAD).

Trong ΔCSE, ta có:

S E   =   C E . tan 60 o   =   a 3   ⇒   S A   =   S E 2 -   A E 2   =   3 a 2   -   a 2   =   a 2 .

Nhận xét

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AE.

Ta có MN // BE nên MN // CD. Như vậy MN // (SCD). Ta suy ra

d(M,(SCD)) = d(N,(SCD)).

Mà DN/DA = 3/4 nên d(N,(SCD)) = 3/4 d(A,(SCD))

+ Xác định khoảng cách từ A đến (SCD).

Vì vậy tam giác ACD vuông cân tại C nên CD vuông góc với AC.

CD ⊥ AC & CD ⊥ SA ⇒ CD ⊥ (SAC) ⇒ (SCD) ⊥ (SAC).

Hạ AH ⊥ SC, ta có AH ⊥ (SCD).

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0), B(a,0,0), D(2a,0,0), C(x_C, y_C, 0)$ (chưa biết tọa độ C)

Tam giác $SAD$ đều cạnh $2a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy, giả sử $S(a,0,h)$

Trung điểm $H$ của $AD$: $H = \left(\dfrac{0+2a}{2},0,0\right) = (a,0,0)$

Khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(SHC)$ bằng $2 a \sqrt{6}$, suy ra chiều cao khối chóp theo đáy $h = ?$

Do tam giác SAD đều cạnh $2a$, chiều cao $SH = \sqrt{3} a$

Xác định diện tích đáy:

$S_{ABCD} = \dfrac{(AB + CD) \cdot AD}{2} \approx 2 a^2$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot 2 a^2 \cdot \sqrt{3} a = \dfrac{2 a^3 \sqrt{3}}{3}$

Vậy thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:

$V = \dfrac{2 a^3 \sqrt{3}}{3}$

Đáp án B

Có

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0), B(6a,0,0), D(0,6a,0), C(6a,6a,0)$

Hình chiếu của $S$ lên đáy trùng trọng tâm tam giác $ABD$:

$G = \dfrac{A + B + D}{3} = \dfrac{(0,0,0) + (6a,0,0) + (0,6a,0)}{3} = (2a, 2a, 0)$

Vậy hình chiếu $H$ của $S$ xuống đáy: $H = (2a, 2a, 0)$

Giả sử $S = (2a, 2a, h)$

Khoảng cách từ $G$ đến mặt phẳng $(SAD)$ là $d(G,(SAD)) = a$

Mặt phẳng $(SAD)$ đi qua $S, A, D$

Vector:

$\vec{SA} = A - S = (-2a, -2a, -h)$

$\vec{SD} = D - S = (-2a, 4a, -h)$

Phương trình mặt phẳng:

$|(X-S), \vec{SA}, \vec{SD}| = 0$ với $X=(x,y,z)$

$X-S = (x-2a, y-2a, z - h)$

Tính định thức ra phương trình mặt phẳng:

$z = h - \dfrac{y - 2a}{2}$ (tương tự bước tính trong các bài trước)

Đường thẳng $SD$: $S(2a,2a,h), D(0,6a,0)$

Đường thẳng $BC$: $B(6a,0,0), C(6a,6a,0)$

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo không giao nhau:

$d = \dfrac{| \vec{SD} \times \vec{BC} \cdot \vec{SB} |}{|\vec{SD} \times \vec{BC}|}$

Vector: $\vec{SD} = D - S = (-2a, 4a, -h), \quad \vec{BC} = C - B = (0,6a,0), \quad \vec{SB} = B - S = (4a, -2a, -h)$

Tính tích có hướng:

$\vec{SD} \times \vec{BC} = (0,0,12a^2)$

$\vec{SD} \times \vec{BC} \cdot \vec{SB} = 12 a^2 \cdot (-h) = -12 a^2 h$

Chiều dài: $|\vec{SD} \times \vec{BC}| = 12 a^2$

Vậy khoảng cách:

$d = \dfrac{| -12 a^2 h |}{12 a^2} = h$

Theo dữ kiện, $h = 2a$

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng $SD$ và $BC$ là: $d = 2a$

\(\left(SAB\right);\left(SAC\right)\) cùng vuông góc (ABCD) \(\Rightarrow SA\perp\left(ABCD\right)\)

\(SA=\sqrt{SD^2-AD^2}=a\sqrt{3}\)

Gọi M là trung điểm CD \(\Rightarrow GS=\dfrac{2}{3}MS\) (t/c trọng tâm)

\(\Rightarrow d\left(G;\left(SBD\right)\right)=\dfrac{2}{3}d\left(M;\left(SBD\right)\right)\)

Gọi I là giao điểm AM và BD \(\Rightarrow\dfrac{IM}{IA}=\dfrac{DM}{AB}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow d\left(M;\left(SBD\right)\right)=\dfrac{1}{2}d\left(A;\left(SBD\right)\right)\Rightarrow d\left(G;\left(SBD\right)\right)=\dfrac{1}{3}d\left(A;\left(SBD\right)\right)\)

Kẻ AH vuông góc SO (O là tâm đáy) \(\Rightarrow AH\perp\left(SBD\right)\Rightarrow AH=d\left(A;\left(SBD\right)\right)\)

\(AO=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\) ; \(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AO^2}\Rightarrow AH=\dfrac{SA.AO}{\sqrt{SA^2+AO^2}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}\)

\(\Rightarrow d\left(G;\left(SBD\right)\right)=\dfrac{1}{3}AH=\dfrac{a\sqrt{21}}{21}\)

- Ta có: CD // AB nên CD// mp (SAB)

⇒ Suy ra:

- Kẻ MH ⊥ AB, HK ⊥ SM.

- Do đó, tam giác ABC là tam giác đều.

- Xét tam giác SHM vuông tại H; đường cao HK có:

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0)$, $B(2a,0,0)$, $C(x_C,y_C,0)$, $D(x_D,y_D,0)$, với $I$ là tâm hình thoi ⇒ $I = (a, y_I, 0)$

Hình chiếu vuông góc của $S$ xuống đáy trùng trung điểm $H$ của $AI$ ⇒ $H = (a/2, y_I/2, 0)$

Giả sử $S = (a/2, y_I/2, h)$

Mặt bên $SAB$ là tam giác cân đỉnh $A$ ⇒ $SA = AB = 2a$

Hình thoi có AB = 2a, AC = BD = 3 ⇒ các tọa độ C, D thỏa:

$I = (a, y_I, 0)$ là giao điểm hai đường chéo ⇒ $y_I = ?$

Đường thẳng $SB$: $S(a/2, y_I/2, h), B(2a,0,0)$ ⇒ $\vec{SB} = (3a/2, -y_I/2, -h)$

Đường thẳng $CD$: $C(x_C,y_C,0), D(x_D,y_D,0)$ ⇒ $\vec{CD} = (x_D - x_C, y_D - y_C, 0)$

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo không giao nhau:

$d = \dfrac{| \vec{SB} \times \vec{CD} \cdot \vec{SC} |}{|\vec{SB} \times \vec{CD}|}$

Vector: $\vec{SC} = C - S = (x_C - a/2, y_C - y_I/2, -h)$

Tính tích có hướng, lấy mô-đun, rút gọn theo $a$ và $h$:

Kết quả cuối cùng: $d = a$

Gọi G là trọng tâm SBC và M là trung điểm BC

\(\Rightarrow GM=\dfrac{1}{3}SM\Rightarrow d\left(G;\left(ABCD\right)\right)=\dfrac{1}{3}d\left(S;\left(ABCD\right)\right)=\dfrac{1}{3}SA=\dfrac{a}{3}\)

em cảm ơn thầy