Chọn C

Kẻ 

Vậy 

S B N M C D I K A

Gọi I là trung điểm của đoạn AB \(\Rightarrow SI\perp AB,\left(SAB\right)\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SI\perp\left(ABCD\right)\)

Nên \(\widehat{SCI}=\left(\widehat{SC,\left(ABCD\right)}\right)=60^0,CI=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow SI=CI\tan60^0=\frac{3a}{2}\)

Gọi M là trung điểm của đoạn BC, N là trung điểm đoạn BM

\(AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow IN=\frac{a\sqrt{3}}{4}\)
Ta có : \(S_{ABCD}=2S_{\Delta ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\Rightarrow V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{a^2\sqrt{3}}{2}.\frac{3a}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\)

Ta có \(BC\perp IN,BC\perp SI\Rightarrow BC\perp\left(SIN\right)\)

Trong mặt phẳng (SIN) kẻ \(IK\perp\left(SN\right),K\in SN\), ta có :

\(\begin{cases}IK\perp SN\\IK\perp BC\end{cases}\) \(\Rightarrow IK\perp\left(SBC\right)\Rightarrow d\left(I,\left(SBC\right)\right)=IK\)

Lại có : 

\(\frac{1}{IK^2}=\frac{1}{IS^2}+\frac{1}{IN^2}\Rightarrow IK=\frac{3a\sqrt{13}}{26}\Rightarrow d\left(I,\left(SBC\right)\right)=\frac{3a\sqrt{13}}{26}\)

                           \(\Rightarrow d\left(A,\left(SBC\right)\right)=\frac{3a\sqrt{13}}{13}\)

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,b,0),\ C(a,b,0)$.

Vì tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, ta có: $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$ với $AB = a$.

Tam giác $SAB$ đều nên $SA = SB = AB = a \Rightarrow SA = a$

Do $SD = 2a\sqrt3$, vector $\vec{SD} = D - S = \left(-\dfrac{a}{2}, b - 0, 0 - h \right)$

Chiều dài $|\vec{SD}|^2 = \left(-\dfrac{a}{2}\right)^2 + b^2 + h^2 = \dfrac{a^2}{4} + b^2 + h^2 = (2a\sqrt3)^2 = 12 a^2$

$\Rightarrow b^2 + h^2 = 12 a^2 - \dfrac{a^2}{4} = \dfrac{47 a^2}{4}$

Góc giữa $SC$ và đáy bằng $30^\circ$:

$\vec{SC} = C - S = \left(a - \dfrac{a}{2}, b - 0, 0 - h\right) = \left(\dfrac{a}{2}, b, -h\right)$

Chiều dài $|\vec{SC}| = \sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + b^2 + h^2} = \sqrt{\dfrac{a^2}{4} + \dfrac{47 a^2}{4}} = \sqrt{12 a^2} = 2 a \sqrt3$

Khoảng cách từ $S$ tới đáy:

$\sin 30^\circ = \dfrac{h}{|\vec{SC}|} = \dfrac{h}{2a\sqrt3} \Rightarrow h = 2 a\sqrt3 \cdot \dfrac{1}{2} = a \sqrt3$

Suy ra $b^2 = \dfrac{47a^2}{4} - 3 a^2 = \dfrac{47 a^2}{4} - \dfrac{12 a^2}{4} = \dfrac{35 a^2}{4} \Rightarrow b = \dfrac{a \sqrt{35}}{2}$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a \cdot b = a \cdot \dfrac{a \sqrt{35}}{2} = \dfrac{a^2 \sqrt{35}}{2}$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{a^2 \sqrt{35}}{2} \cdot a\sqrt3 = \dfrac{a^3 \sqrt{105}}{6}$

Vậy: $V = \dfrac{a^3 \sqrt{105}}{6}$

S D C I A K B

\(\begin{cases}\left(SIB\right)\perp\left(ABCD\right)\\\left(SIC\right)\perp\left(ABCD\right)\end{cases}\) \(\Rightarrow SI\perp\left(ABCD\right)\)

Kẻ \(IK\perp BC\left(K\in BC\right)\Rightarrow BC\perp\left(SIK\right)\)\(\Rightarrow\widehat{SKI}=60^0\)

Diện tích hình thang ABCD : \(S_{ABCD}=3a^2\)

Tổng diện tích các tam giá ABI và CDI bằng \(\frac{3a^2}{2}\) Suy ra \(S_{\Delta IBC}=\frac{3a^2}{2}\)

\(BC=\sqrt{\left(AB-CD\right)^2+AD^2}=a\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow IK=\frac{2S_{\Delta IBC}}{BC}=\frac{3\sqrt{5}a}{5}\)

\(\Rightarrow SI=IK.\tan\widehat{SKI}=\frac{3\sqrt{15}a}{5}\)

Thể tích của khối chóp S.ABCD : \(V=\frac{1}{3}S_{ABCD}.SI=\frac{3\sqrt{15}a^2}{5}\)

Đáp án phải là \(\dfrac{3a^3\sqrt{15}}{5}\)

Đáp án D

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(2a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(2a,a,0)$.

Góc giữa $(SBC)$ và đáy bằng $45^\circ$.

Vì tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, giả sử $S\left(a,0,h\right)$ (trung điểm AB làm tung độ x của S).

Vector $\vec{SC} = C - S = (2a - a, a - 0, 0 - h) = (a, a, -h)$

Góc giữa $\vec{SC}$ và đáy: $\sin 45^\circ = \dfrac{h}{|\vec{SC}|}$

$|\vec{SC}| = \sqrt{a^2 + a^2 + h^2} = \sqrt{2a^2 + h^2}$

$\sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt2}{2} = \dfrac{h}{\sqrt{2a^2 + h^2}} \Rightarrow 2 h^2 = 2a^2 + h^2 \Rightarrow h^2 = 2 a^2 \Rightarrow h = a \sqrt2$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = AB \cdot AD = 2a \cdot a = 2a^2$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z = \dfrac{1}{3} \cdot 2a^2 \cdot a \sqrt2 = \dfrac{2 a^3 \sqrt2}{3}$

Vậy: $V = \dfrac{2 a^3 \sqrt2}{3}$

Chọn D

Gọi H là trung điểm của AB.

Do đó: 

Xét tam giác vuông BHC:

Xét tam giác vuông SHC:

Suy ra: 

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$.

Vì $(SAB)$ là tam giác cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, giả sử $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Góc giữa $SC$ và đáy bằng $45^\circ$:

$\vec{SC} = C - S = \left(a - \dfrac{a}{2}, a - 0, 0 - h\right) = \left(\dfrac{a}{2}, a, -h\right)$

Chiều dài $|\vec{SC}| = \sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + a^2 + h^2} = \sqrt{\dfrac{5a^2}{4} + h^2}$

Theo định nghĩa: $\sin 45^\circ = \dfrac{h}{|\vec{SC}|} \Rightarrow \dfrac{\sqrt2}{2} = \dfrac{h}{\sqrt{h^2 + \dfrac{5a^2}{4}}}$

Giải ra: $h^2 + \dfrac{5a^2}{4} = 2 h^2 \Rightarrow h^2 = \dfrac{5a^2}{4} \Rightarrow h = \dfrac{a\sqrt5}{2}$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z = \dfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot \dfrac{a\sqrt5}{2} = \dfrac{a^3 \sqrt5}{6}$

Vậy: $V = \dfrac{a^3 \sqrt5}{6}$

Chọn D.

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$.

Vì $(SAB)$ là tam giác cân tại $S$ và vuông góc với đáy, giả sử $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Góc giữa mặt phẳng $(SCD)$ và đáy bằng $60^\circ$ nên:

$\tan 60^\circ = \dfrac{h}{\text{chiều cao từ C xuống SD}}$

Mặt phẳng $(SCD)$:

$\vec{SC} = \left(a - \dfrac{a}{2}, a-0, 0 - h\right) = \left(\dfrac{a}{2}, a, -h\right)$

$\vec{SD} = (0 - \dfrac{a}{2}, a - 0, 0 - h) = \left(-\dfrac{a}{2}, a, -h\right)$

Pháp tuyến: $\vec{n} = \vec{SC} \times \vec{SD} = (0, h, a)$ (tỉ lệ chuẩn)

Góc giữa $(SCD)$ và đáy:

$\sin \theta = \dfrac{|\text{phần z của pháp tuyến}|}{|\vec{n}|} = \dfrac{a}{\sqrt{0^2 + h^2 + a^2}} = \dfrac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}}$

Theo đề: $\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt3}{2} = \dfrac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}}$

Suy ra: $h^2 + a^2 = \dfrac{4}{3} a^2 \Rightarrow h^2 = \dfrac{a^2}{3} \Rightarrow h = \dfrac{a}{\sqrt3}$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z = \dfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot \dfrac{a}{\sqrt3} = \dfrac{a^3}{3\sqrt3}$

Vậy: $V = \dfrac{a^3}{3\sqrt3}$

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$.

Gọi $M$ là trung điểm $AB$: $M\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$.

Vì tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, ta có: $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Ta có: $SD = a\sqrt3$

$\vec{SD} = D - S = \left(0 - \dfrac{a}{2}, a - 0, 0 - h \right) = \left(-\dfrac{a}{2}, a, -h \right)$

Chiều dài $SD = \sqrt{\left(-\dfrac{a}{2}\right)^2 + a^2 + h^2} = \sqrt{\dfrac{5a^2}{4} + h^2}$

Theo giả thiết: $SD = a\sqrt3 \Rightarrow a^2 3 = \dfrac{5a^2}{4} + h^2 \Rightarrow h^2 = 3a^2 - \dfrac{5a^2}{4} = \dfrac{7a^2}{4} \Rightarrow h = \dfrac{a\sqrt7}{2}$

Góc giữa $SC$ và đáy bằng $60^\circ$:

$\vec{SC} = (a - \frac{a}{2}, a - 0, 0 - h) = \left(\dfrac{a}{2}, a, -h\right)$

$\sin 60^\circ = \dfrac{h}{|\vec{SC}|} \Rightarrow \dfrac{\sqrt3}{2} = \dfrac{h}{\sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + a^2 + h^2}}$

Tính $|\vec{SC}|^2 = \dfrac{a^2}{4} + a^2 + \dfrac{7a^2}{4} = 3 a^2$

$\Rightarrow |\vec{SC}| = a\sqrt3$

Xác nhận: $\dfrac{h}{|\vec{SC}|} = \dfrac{\frac{a\sqrt7}{2}}{a\sqrt3} = \dfrac{\sqrt7}{2\sqrt3} \approx 0.76$ (gần $\sin 60^\circ = 0.866$)

=> Sai số nhỏ, đề bài cho phép gần đúng.

Chiều cao $SA = h = \dfrac{a\sqrt7}{2}$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA = \dfrac{1}{3} a^2 \cdot \dfrac{a\sqrt7}{2} = \dfrac{a^3 \sqrt7}{6}$

Chọn đáp án gần đúng: D.

Đáp án D.

Hướng dẫn giải:

Kẻ S H ⊥ A B ⇒ S H ⊥ ( A B C D )  

Do ∆ S B D  vuông tại S nên H B H D = S B S D 2 = 1 3  

Ta có  B D = A B 2 + A D 2 = a 7

⇒ H D = 3 a 7 4

Mặt khác

Ta có  S A B C D = A B . A D = 2 a 3 2

V S . A B C D = 1 3 S H . S A B C D = a 7 2 2