Đáp án đúng : C

Đáp án D

Gọi I và E tương ứng là tâm hình vuông ABCD và tam giác SAB.

Chọn D.

Phương pháp: Xác định cạnh của đáy trước.

Cách giải: Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là 

Gọi O là tâm của đáy, I là tâm mặt cầu, G là tâm tam giác SAD, M là trung điểm AD.

Dễ thấy I nằm đồn thời trên trục của tam giác SAD và trục của đáy.

Qua D dựng đường thẳng d song song với AC. Gọi K là hình chiếu cửa M trên d, H là hình chiếu của M trên SD. Suy ra M H ⊥ d , S D .

Ta có: 

Đáp án B.

Gọi O là tâm của hính vuông ABCD và H là tâm của đường tròn ngoại tiếp Δ S A B .  Từ O kẻ đường thẳng d vuông góc với (ABCD). Từ H kẻ đường thẳng H vuông góc với (SAB).

Ta có d ∩ Δ = I ⇒ I A = I B = I C = IS ⇒ I  là tâm đường tròn ngoại tiếp khối chóp S . A B C D ⇒ R = I A = O I 2 + O A 2 .

Mà O I = H M = H B 2 − M B 2  với M là trung điểm của AB.

Xét Δ S A B  cân tại S, có A B sin A S B ^ = 2 r

⇒ H B = r = 2 a 2. sin 120 0 = 2 a 3 .

Khi đó  O I = 2 a 3 2 − a 2 = a 3 ⇒ R = a 3 2 + a 2 2 = a 21 3 .

Chọn B

Chọn đáp án D

Gọi H là trung điểm của AB. Từ giả thiết ta có S H ⊥ A B C D  

Suy ra

⇒ S H C vuông cân tại H.

Do ∆ B H C  vuông tại H nên

⇒ S H = H C = a 5 2  

Thể tích khối chóp V S . A B C D = 1 3 S H . S A B C D = a 3 5 6 đ v t t  là

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$.

Tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, trung điểm $H$ của $AB$ là $H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$, nên $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy đi qua $H$, giả sử $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Góc giữa đường thẳng $SC$ và đáy bằng $\theta = 45^\circ$:

Vector $\vec{SC} = \left(a - \dfrac{a}{2}, a - 0, 0 - h\right) = \left(\dfrac{a}{2}, a, -h\right)$

$\cos 45^\circ = \dfrac{|\text{chiều ngang của SC}|}{|\vec{SC}|} = \dfrac{\sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + a^2}}{\sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + a^2 + h^2}} = \dfrac{\sqrt{\dfrac{a^2}{4} + a^2}}{\sqrt{\dfrac{a^2}{4} + a^2 + h^2}} = \dfrac{\sqrt{\dfrac{5a^2}{4}}}{\sqrt{\dfrac{5a^2}{4} + h^2}} = \dfrac{\sqrt{5}/2 \, a}{\sqrt{5/4\, a^2 + h^2}}$

Theo đề: $\cos 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \dfrac{\sqrt{5} a / 2}{\sqrt{5 a^2 /4 + h^2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \sqrt{5 a^2 /4 + h^2} = \sqrt{5/2} a \Rightarrow 5a^2/4 + h^2 = 5a^2/2 \Rightarrow h^2 = 5a^2/4 \Rightarrow h = \dfrac{a \sqrt{5}}{2}$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$

Thể tích khối chóp

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z = \dfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot \dfrac{a \sqrt{5}}{2} = \dfrac{a^3 \sqrt{5}}{6}$

Vậy: $V = \dfrac{a^3 \sqrt{5}}{6}$

Chọn D.

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$.

Vì tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, trung điểm $H$ của $AB$ là $H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$, nên $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Góc giữa $SC$ và đáy là $45^\circ$:

$\tan 45^\circ = \dfrac{SC_z}{SC_{xy}} = 1 \Rightarrow SC_z = SC_{xy}$

Vector $\vec{SC} = (a - \dfrac{a}{2}, a - 0, 0 - h) = (\dfrac{a}{2}, a, -h)$

Chiều dài trong mặt phẳng đáy: $SC_{xy} = \sqrt{(\dfrac{a}{2})^2 + a^2} = \sqrt{\dfrac{a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\dfrac{5a^2}{4}} = \dfrac{a\sqrt5}{2}$

Do $SC_z = h = SC_{xy} \Rightarrow h = \dfrac{a\sqrt5}{2}$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z = \dfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot \dfrac{a\sqrt5}{2} = \dfrac{a^3 \sqrt5}{6}$

Vậy: $V = \dfrac{a^3 \sqrt5}{6}$

Chọn D.