Lời giải:

Gọi $Q$ là điểm nằm trên $DC$ sao cho $AD\parallel PQ$

Khi đó: $MN\parallel AD\parallel PQ$ nên $Q\in (MNP)$

$(MNPQ)$ chính là thiết diện của hình chóp cắt bởi $(MNP)$
Giờ ta cần tìm diện tích hình thang $MNPQ$

$SA=SD; DB=SC; AB=CD$ nên $\triangle SAB=\triangle SDC$

Tương ứng ta có $MP=NQ$

$MN=\frac{AD}{2}=\frac{3a}{2}$

$PQ=AD=3a$

$\Rightarrow MNPQ$ là hình thang cân.

Áp dụng định lý cos:

$\cos \widehat{SAB}=\frac{SA^2+AB^2-SB^2}{2SA.AB}=\frac{MA^2+AP^2-MP^2}{2MA.AP}$

$\Leftrightarrow \frac{9a^2+9a^2-27a^2}{2.3a.3a}=\frac{\frac{9}{4}a^2+4a^2-MP^2}{2.\frac{3}{2}a.2a}$

$\Rightarrow MP^2=\frac{37}{4}a^2$

$\Rightarrow h_{MNPQ}=\sqrt{MP^2-(\frac{PQ-MN}{2})^2}=\frac{\sqrt{139}}{4}a$

Diện tích thiết diện:

$S=\frac{MN+PQ}{2}.h=\frac{9\sqrt{139}}{16}a^2$

a) Dễ thấy S là một điểm chung của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).

Ta có:

⇒ (SAD) ∩ (SBC) = Sx

Và Sx // AD // BC.

b) Ta có: MN // IA // CD

Mà  

(G là trọng tâm của ∆SAB) nên 

 ⇒ GN // SC

SC ⊂ (SCD) ⇒ GN // (SCD)

c) Giả sử IM cắt CD tại K ⇒ SK ⊂ (SCD)

MN // CD ⇒

Ta có:

a: Xét ΔBAC có BA=BC và góc ABC=60 độ

nên ΔABC đều

=>\(S_{ABC}=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\)

=>\(S_{ABCD}=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}\)

Đề bài sai. (SAD) và (SAC) cùng vuông góc với đáy, thế thì ta sẽ có là hình thoi ACBD, vô lý

a: ΔSAD đều

mà SI là đường trung tuyến

nên SI⊥AD

(SAD)⊥(ABCD)

(SAD) giao (ABCD)=AD

SI⊥AD

Do đó: SI⊥(ABCD)

ABCD là hình vuông cạnh a

=>AB=BC=CD=DA=a

ΔSAD đều

=>SA=SD=AD=a

ΔSAD đều có SI là đường cao

nên \(SI=AD\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{a\sqrt3}{2}\)

Ta có: \(AI=ID=\frac{AD}{2}\)

\(BJ=JC=\frac{BC}{2}\)

mà AD=BC

nên AI=ID=BJ=JC

Xét tứ giác ABJI có

AI//BJ

AI=BJ

Do đó: ABJI là hình bình hành

=>JI//AB và JI=AB=a

=>JI⊥ AD

AD//BC

=>AD//(SBC)

=>d(AD;SB)=d(AD;(SBC))=d(I;(SBC))

BC⊥JI

BC⊥SI

Do đó: BC⊥(SJI)

=>(SBC)⊥(SJI)

Kẻ IH⊥SJ tại H

=>IH⊥(SBC)

=>d(I;(SBC))=IH

Xét ΔSIJ vuông tại I có IH là đường cao

nên \(\frac{1}{IH^2}=\frac{1}{IS^2}+\frac{1}{IJ^2}=\frac{4}{3a^2}+\frac{1}{a^2}=\frac{7}{3a^2}\)

=>\(IH^2=\frac{3a^2}{7}=\frac{21a^2}{49}\)

=>\(IH=a\cdot\frac{\sqrt{21}}{7}\)

=>d(AD;SB)=\(\frac{a\sqrt{21}}{7}\)