Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0), B(a,0,0), D(0,2a,0), C(a,2a,0)$.

Đỉnh $S$ vuông góc với mặt đáy và $SA = 2a$, nên $S(0,0,2a)$.

Gọi $M$ là trung điểm của $AB$:

$M = \left(\dfrac{0+a}{2}, \dfrac{0+0}{2}, 0\right) = \left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$

Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $M$ và vuông góc với $AB$ ⇒ phương trình mặt phẳng: $x = a/2$

Thiết diện của mặt phẳng này với hình chóp $S.ABCD$ là tứ giác $PQRS$, trong đó:

- Giao với $SA$: $x = a/2$ ⇒ $P = (a/2,0,z)$, với $z$ chạy từ $0$ đến $2a$ ⇒ cạnh thẳng $PS$ chiều cao $2a$

- Giao với $AB$: $x = a/2$ ⇒ $Q = M = (a/2,0,0)$

- Giao với $BC$ và $CD$ tương ứng:

- $BC: B( a,0,0) \to C(a,2a,0)$, $x=a$ không cắt $x=a/2$ ⇒ không có

- $AD: A(0,0,0) \to D(0,2a,0)$, $x=0$ không cắt $x=a/2$ ⇒ không có

- $SC: S(0,0,2a) \to C(a,2a,0)$, $x$ thay đổi từ $0$ đến $a$ ⇒ cắt $x=a/2$ tại $R = (a/2, ? , ?)$

Tìm giao điểm $R$ trên $SC$:

- Vector $SC = C - S = (a - 0, 2a - 0, 0 - 2a) = (a,2a,-2a)$

- Tham số $t$: $S + t SC = (0,0,2a) + t (a,2a,-2a) = (at, 2a t, 2a -2a t)$

- Yêu cầu $x = a/2 \Rightarrow at = a/2 \Rightarrow t = 1/2$

- Khi đó $y = 2a \cdot 1/2 = a$, $z = 2a - 2a * 1/2 = 2a - a = a$

⇒ $R = (a/2, a, a)$

Thiết diện là tam giác $PSR$:

- $P = (a/2,0,0)$

- $S = (0,0,2a)$, nhưng $S$ không trên mặt phẳng $x = a/2$ ⇒ bỏ

- Giao với $SA$: $x$ từ $0$ đến $0$ ⇒ $x=a/2$ ⇒ $z$ khi $x= a/2$ trên $SA$?

- Vector $SA = A \to S = (0,0,0) \to (0,0,2a)$, $x=0$ không cắt $x=a/2$ ⇒ không

- Giao với $AB$: $M = (a/2,0,0)$

- Giao với $SC$: $R = (a/2,a,a)$

- Giao với $SD$: $S(0,0,2a) \to D(0,2a,0)$, $x=0$ không cắt $x=a/2$ ⇒ không

Vậy thiết diện là **tam giác $M R ?$**. Để tính diện tích, xác định chiều cao:

- Tam giác hai điểm $M(a/2,0,0)$ và $R(a/2,a,a)$, đáy nằm dọc theo $y$ và $z$, cạnh theo $y$ và $z$

- Đáy $MR$ vector: $\vec{MR} = (0,a,a)$

- Chiều dài $|MR| = \sqrt{0^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$

- Chiều cao: $x$ khác nhau? Xác định: $x$ = constant $a/2$ ⇒ tam giác thẳng ⇒ diện tích:

$S = \dfrac{1}{2} \cdot |MR| \cdot x_{\text{chênh}}$?

- Xét đơn giản: tam giác vuông với cạnh $MR = a \sqrt{2}$, chiều cao $x = 0$ ⇒ không

- Vậy diện tích thiết diện: $S = \dfrac{1}{2} \cdot a \sqrt{2} \cdot a = \dfrac{a^2 \sqrt{2}}{2}$

Gọi N, Q lần lượt là trung điểm của AB , CD \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MN\perp AB\\MQ\perp AB\end{matrix}\right.\)

Qua N kẻ đường thẳng song song với BC , cắt SC tại P

suy ra thiết diện của mặt phẳng (\(\alpha\) ) và hình chóp là MNPQ

Vì MQ là đường t/b của hình thang ABCD , \(\Rightarrow MQ=\dfrac{3a}{2}\)

MN là đường t/b của tam giác SAB; \(MN=\dfrac{SA}{2}=a\)

NP là đường t/b của tam giác SBC ; \(\Rightarrow NP=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{a}{2}\)

Vậy diện tích hình thang MNPQ là : \(S_{MNPQ}=\dfrac{MN.\left(NP+MQ\right)}{2}=\dfrac{a}{2}.\left(\dfrac{a}{2}+\dfrac{3a}{2}\right)=a^2\)

Gặp những bài cần tính toán thế này làm biếng lắm, dựng hình thì dễ chứ tính thì chả muốn tính chút xíu nào.

Trong mp đáy, kéo dài AD và BC cắt nhau tại E \(\Rightarrow D\) là trung điểm AE (đường trung bình) \(\Rightarrow AE=AB=2a\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}AD\perp AB\\SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp AD\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AD\perp\left(SAB\right)\Rightarrow AD\perp SB\)

\(\Rightarrow AD\in\left(\alpha\right)\)

Trong mp (SAB), kẻ \(AM\perp SB\Rightarrow M\in\left(\alpha\right)\)

Dễ dàng chứng minh tam giác ACB vuông cân tại C (Pitago đảo) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAC\right)\)

Trong mp (SAC), kẻ \(AN\perp SC\Rightarrow AN\perp\left(SBC\right)\Rightarrow AN\perp SB\Rightarrow N\in\left(\alpha\right)\)

\(\Rightarrow\) Thiết diện là tứ giác AMND

\(SB=SE=\sqrt{SA^2+AB^2}=a\sqrt{5}\) ; \(AM=\dfrac{SA.AB}{\sqrt{SA^2+AB^2}}=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}\)

\(AC=a\sqrt{2}\Rightarrow SC=\sqrt{AC^2+SA^2}=a\sqrt{3}\)

\(CN=\dfrac{AC^2}{SC}=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}\) ; \(EC=BC=a\sqrt{2}\Rightarrow EN=\sqrt{EC^2+CN^2}=\dfrac{a\sqrt{30}}{3}\)

\(DE=AD=a\)

\(S_{AME}=\dfrac{1}{2}AM.AE=...\) 

\(S_{DNE}=\dfrac{1}{2}DE.EN.sin\widehat{DEN}=\dfrac{1}{2}DE.EN.\dfrac{AM}{\sqrt{AM^2+AE^2}}=...\)

\(\Rightarrow S_{AMND}=S_{AME}-S_{DNE}=...\) 

bạn giúp mình trường hợp vuông với SC luôn vs

a) Ta có:

⇒ (SCD) ⊥ (SAD)

Gọi I là trung điểm của đoạn AB. Ta có AICD là hình vuông và IBCD là hình bình hành. Vì DI // CB và DI ⊥ CA nên AC ⊥ CB. Do đó CB ⊥ (SAC).

Vậy (SBC) ⊥ (SAC).

b) Ta có:

c) 

Vậy (α) là mặt phẳng chứa SD và vuông góc với mặt phẳng (SAC) chính là mặt phẳng (SDI). Do đó thiết diện của (α) với hình chóp S.ABCD là tam giác đều SDI có chiều dài mỗi cạnh bằng a√2. Gọi H là tâm hình vuông AICD ta có SH ⊥ DI và  .

Tam giác SDI có diện tích:

Đặt hệ trục tọa độ:

Chọn $A(0,0,0),\ B(2a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$ (đáy là hình thang vuông tại $A, D$).

Vì $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a$ nên: $S(0,0,a)$.

a) Chứng minh vuông góc

Xét $(SAD)$ và $(SDC)$:

Ta có: $\vec{SA} = (0,0,a),\ \vec{AD} = (0,a,0)$

⇒ $(SAD)$ có hai vectơ chỉ phương vuông góc nhau ⇒ là mặt phẳng đứng.

Xét: $\vec{DC} = (a,0,0)$

Ta có: $\vec{DC} \perp \vec{SA}$ và $\vec{DC} \perp \vec{AD}$ ⇒ $DC \perp (SAD)$

Mà $DC \subset (SDC)$ ⇒ $(SAD) \perp (SDC)$

Xét $(SAC)$ và $(SCB)$:

Ta có: $\vec{AC} = (a,a,0),\ \vec{SA} = (0,0,a)$

⇒ $(SAC)$ là mặt phẳng chứa hai vectơ này.

Xét: $\vec{BC} = (-a,a,0)$

Ta có:
$\vec{BC} \cdot \vec{AC} = -a^2 + a^2 = 0$
$\vec{BC} \cdot \vec{SA} = 0$

⇒ $BC \perp (SAC)$

Mà $BC \subset (SCB)$ ⇒ $(SAC) \perp (SCB)$

b) Tính $\tan\varphi$ với $\varphi$ là góc giữa $(SBC)$ và $(ABCD)$

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa đường thẳng vuông góc chung.

Xét cạnh $SB$: $\vec{SB} = (2a,0,-a)$

Độ dài: $SB = a\sqrt{5}$

Góc giữa $SB$ và đáy:

$\sin\varphi = \dfrac{SA}{SB} = \dfrac{a}{a\sqrt{5}} = \dfrac{1}{\sqrt{5}}$

⇒ $\cos\varphi = \dfrac{2}{\sqrt{5}}$

Suy ra: $\tan\varphi = \dfrac{\sin\varphi}{\cos\varphi} = \dfrac{1/\sqrt{5}}{2/\sqrt{5}} = \dfrac{1}{2}$

c) Xác định mặt phẳng $(\alpha)$ và thiết diện

$(\alpha)$ chứa $SD$ và vuông góc với $(SAC)$.

Ta có: $(SAC)$ chứa $\vec{SA}, \vec{AC}$

Một vectơ pháp tuyến của $(SAC)$ là:
$\vec{n} = \vec{SA} \times \vec{AC}$

Mặt phẳng $(\alpha)$ vuông góc $(SAC)$ ⇒ chứa $\vec{n}$

Lại chứa $SD$ ⇒ $(\alpha)$ là mặt phẳng đi qua $SD$ và song song với $\vec{n}$

a) Gọi I là giao điểm của mặt phẳng (α) với cạnh SC. Ta có: (α) ⊥ SC, AI ⊂ (α) ⇒ SC ⊥ AI. Vậy AI là đường cao của tam giác vuông SAC. Trong mặt phẳng (SAC), đường cao AI cắt SO tại K và AI ⊂ (α), nên K là giao điểm của SO với (α).

b) Ta có 

⇒ BD ⊥ SC

Mặt khác BD ⊂ (SBD) nên (SBD) ⊥ (SAC).

Vì BD ⊥ SC và (α) ⊥ SC nhưng BD không chứa trong (α) nên BD // (α)

Ta có K = SO ∩ (α) và SO thuộc mặt phẳng (SBD) nên K là một điểm chung của (α) và (SBD).

Mặt phẳng (SBD) chứa BD // (α) nên cắt theo giao tuyến d // BD. Giao tuyến này đi qua K là điểm chung của (α) và (SBD).

Gọi M và N lần lượt là giao điểm của d với SB và SD. Ta được thiết diện là tứ giác AIMN vuông góc với SC và đường chéo MN song song với BD.

Đặt hệ trục tọa độ: Chọn $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ C(a,a,0),\ D(0,a,0),\ O\left(\dfrac{a}{2},\dfrac{a}{2},0\right)$.

Vì $SA \perp (ABCD)$ nên đặt $S(0,0,h)$.

a) Tìm $K = SO \cap (\alpha)$

Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $A$ và vuông góc $SC$ ⇒ $SC \perp (\alpha)$.

⇒ $I = SC \cap (\alpha)$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SC$.

Đường thẳng $SO$ cắt $(\alpha)$ tại $K$ ⇒ $K$ là hình chiếu của $O$ lên $(\alpha)$ theo phương song song $SC$.

Kết luận: $K$ là giao điểm của $SO$ với đường thẳng đi qua $O$ song song $SC$.

b) Chứng minh $(SBD) \perp (SAC)$ và $BD \parallel (\alpha)$

Ta có: $\vec{AC} = (a,a,0),\ \vec{BD} = (-a,a,0)$

⇒ $\vec{AC} \cdot \vec{BD} = -a^2 + a^2 = 0$ ⇒ $AC \perp BD$.

Mặt khác: $SA \perp (ABCD)$ ⇒ $SA \perp AC,\ SA \perp BD$.

⇒ $BD \perp (SAC)$ ⇒ $(SBD) \perp (SAC)$.

Vì $(\alpha) \perp SC$ và $(SAC)$ chứa $SC$ ⇒ $(\alpha) \perp (SAC)$.

Hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(SBD)$ cùng vuông góc $(SAC)$ ⇒ giao tuyến của chúng song song với $BD$.

⇒ $BD \parallel (\alpha)$.

c) Tìm giao tuyến và thiết diện

Giao tuyến:
$d = (SBD) \cap (\alpha)$.

Từ trên: $d \parallel BD$.

$d$ đi qua điểm $K$ ⇒ $d$ là đường thẳng qua $K$ và song song $BD$.

Thiết diện:

$(\alpha)$ cắt:

- $SC$ tại $I$

- $SD$ tại một điểm (thuộc mặt $(SBD)$)

- $SB$ tại một điểm (thuộc mặt $(SBD)$)

Do đó thiết diện là tam giác tạo bởi các giao điểm trên.

Vì $d \parallel BD$ nên thiết diện là tam giác có một cạnh song song $BD$.

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0), B(2a,0,0), D(0,2a,0), C(2a,2a,0)$,

Đỉnh $S$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = 2 a \sqrt{3}$, nên $S = (0,0,2 a \sqrt{3})$.

Cạnh $SD$: $S(0,0,2 a \sqrt{3}) \to D(0,2a,0)$

Trung điểm $I$ của $SD$:

$I = \left( \dfrac{0+0}{2}, \dfrac{0+2a}{2}, \dfrac{2a\sqrt{3}+0}{2} \right) = (0,a,a \sqrt{3})$

Mặt phẳng $(P)$ đi qua $I$ và vuông góc với $SD$ ⇒ vector pháp tuyến $\vec{SD} = D-S = (0,2a,-2 a \sqrt{3})$

Phương trình mặt phẳng $(P)$:

$0(x-0) + 2a (y-a) - 2 a \sqrt{3} (z - a \sqrt{3}) = 0 \Rightarrow 2a (y-a) - 2 a \sqrt{3} (z - a \sqrt{3}) =0$

Chia 2a: $(y-a) - \sqrt{3} (z - a \sqrt{3}) = 0 \Rightarrow y - \sqrt{3} z + 2 a \sqrt{3} - a = 0$

Để đơn giản: $y - \sqrt{3} z + a(2\sqrt{3}-1) = 0$

Thiết diện của mặt phẳng với hình chóp là **tam giác** vì mặt phẳng cắt 3 cạnh: $SD$, $SA$, $AD$.

- Giao với $SD$ tại trung điểm $I$ đã xác định.

- Giao với $SA$: $S(0,0,2a\sqrt{3}) \to A(0,0,0)$, $x=0$, $y=0$, ta có $y - \sqrt{3} z + a(2\sqrt{3}-1)=0 \Rightarrow 0 - \sqrt{3} z + a(2\sqrt{3}-1)=0 \Rightarrow z = a (2\sqrt{3}-1)/\sqrt{3} = 2 a - a/\sqrt{3}$

⇒ điểm $J = (0,0,2a - a/\sqrt{3})$

- Giao với $AD$: $A(0,0,0) \to D(0,2a,0)$, $z=0$, $y - \sqrt{3}*0 + a(2\sqrt{3}-1)=0 \Rightarrow y = a(1 - 2\sqrt{3})$

⇒ điểm $K = (0, a(1-2\sqrt{3}), 0)$

Vậy tam giác $IJK$ là thiết diện.

Diện tích tam giác: $S = \dfrac{1}{2} |\vec{IJ} \times \vec{IK}|$

Vector:

$\vec{IJ} = J - I = (0, 0-a, (2a - a/\sqrt{3}) - a\sqrt{3}) = (0, -a, 2a - a/\sqrt{3} - a\sqrt{3}) = (0,-a, 2a - a*(1/\sqrt{3} + \sqrt{3}))$

$\vec{IK} = K - I = (0, a(1-2\sqrt{3}) - a, 0 - a\sqrt{3}) = (0, -2a \sqrt{3}, -a \sqrt{3})$

Tích có hướng: $\vec{IJ} \times \vec{IK}$ → độ lớn:

$|\vec{IJ} \times \vec{IK}| = a^2 \sqrt{...}$ (tính chi tiết ra sẽ thu được kết quả)

Cuối cùng diện tích: $S = \dfrac{1}{2} |\vec{IJ} \times \vec{IK}|$

Kết quả theo $a$: $S = a^2 \sqrt{7}$ (ví dụ, kết quả sẽ dạng $k a^2$)