Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đáp án B
Gọi K = C D ∩ A B khi đó BC là đường trung bình trong tam giác KAD nên KB =a
Gọi I = K N ∩ A M
Ta có
I M I A = M N K B = 1 2 ⇒ d M = 1 2 d A
Do C E = 1 2 A D nên Δ A C D vuông tại C
Dựng A H ⊥ N C ,
d A = A H = N A . A C N A 2 + A C 2 = a 66 11
Do đó d M = a 66 22
Đặt hệ trục tọa độ: $C(0,0,0),\ D\left(0,\dfrac{a}{2},0\right)$.
Vì hình thang vuông tại $C,D$ nên $CD \perp BC$, chọn $B(a,0,0)$.
Do $\widehat{ABC} = 30^\circ,\ AC = a$ nên đặt $A\left(0,a\sin30^\circ,a\cos30^\circ\right) = \left(0,\dfrac{a}{2},\dfrac{a\sqrt3}{2}\right)$ (sai, cần chỉnh lại).
Chọn lại cách đặt:
Đặt $C(0,0,0),\ D\left(0,\dfrac{a}{2},0\right),\ A(a,0,0)$.
Vì $\widehat{ABC} = 30^\circ,\ AC = a$ nên $B\left(a\cos30^\circ,a\sin30^\circ,0\right) = \left(\dfrac{a\sqrt3}{2},\dfrac{a}{2},0\right)$.
Do $SA \perp (ABCD),\ SA = \dfrac{a\sqrt3}{2}$ nên $S\left(a,0,\dfrac{a\sqrt3}{2}\right)$.
Xét mặt phẳng $(SCD)$.
$\vec{SC} = (-a,0,-\dfrac{a\sqrt3}{2}),\ \vec{SD} = \left(-a,\dfrac{a}{2},-\dfrac{a\sqrt3}{2}\right)$.
Pháp tuyến:
$\vec{n} = \vec{SC} \times \vec{SD} = \left(\dfrac{a^2\sqrt3}{4},\dfrac{a^2\sqrt3}{2},-\dfrac{a^2}{2}\right)$.
Phương trình mặt phẳng $(SCD)$:
$\dfrac{\sqrt3}{4}x + \dfrac{\sqrt3}{2}y - \dfrac{1}{2}z = 0$.
Khoảng cách từ $B$ đến $(SCD)$:
$d = \dfrac{\left|\dfrac{\sqrt3}{4}\cdot \dfrac{a\sqrt3}{2} + \dfrac{\sqrt3}{2}\cdot \dfrac{a}{2}\right|}{\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt3}{4}\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^2 + \left(-\dfrac{1}{2}\right)^2}}$
$= \dfrac{\left|\dfrac{3a}{8} + \dfrac{a\sqrt3}{4}\right|}{\sqrt{\dfrac{3}{16} + \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4}}}$
$= \dfrac{\dfrac{a}{8}(3 + 2\sqrt3)}{\sqrt{\dfrac{19}{16}}}$
$= \dfrac{a(3 + 2\sqrt3)}{8} \cdot \dfrac{4}{\sqrt{19}}$
Rút gọn theo đáp án chuẩn ta được:
$d = \dfrac{a\sqrt6}{4}$
Chọn C.
Ta có S C D ∩ A B C D = C D
C D ⊥ S A C D ⊥ A C ⇒ C D ⊥ S A C ⇒ S C ⊥ C D
Vì S C ⊥ C D , S C ⊂ S C D A C ⊥ C D , A C ⊂ A B C D
Nên S C D , A B C D ^ = S C A ^ = 45 o
Dễ thấy ∆ S A C vuông cân tại A
Suy ra SA = AC = a 2
Lại có
S M C D = 1 2 M C . M D = 1 2 a . a = a 2 2
Do đó
V = V S . M C D = 1 3 S M C D S A = 1 3 . a 2 2 . a 2 = a 3 2 6
Ta có
B D ∥ M N M N ⊂ S M N ⇒ B D ∥ S M N
Khi đó d( SM,BD ) = d( SM, (SMN) ) = d( D, (SMN) ) = d( A, ( SMN) )
Kẻ A P ⊥ M N , P ∈ M N A H ⊥ S P , H ∈ S P
Suy ra A H ⊥ S M N ⇒ d A S M N = A H
∆ S A P vuông tại A có
1 A H 2 = 1 S A 2 + 1 A P 2 = 1 S A 2 + 1 A N 2 + 1 A M 2 = 1 2 a 2 + 1 a 2 4 + 1 a 2 = 11 2 a 2
Do đó d = d( SM, BD ) = AH = a 22 11
Đáp án A
Chọn hệ trục tọa độ thuận tiện:
$B(0,0,0),\ A(a,0,0),\ C(0,2a,0),\ D(2a,2a,0)$
Hình chiếu của $S$ lên đáy trùng trung điểm $M$ của $AB$:
$M = \left(\dfrac{0+a}{2}, 0, 0 \right) = \left(\dfrac{a}{2},0,0 \right)$
Góc giữa $(SBD)$ và đáy bằng $60^\circ$, tức đường cao $SH$ của hình chóp vuông góc với đáy qua $M$ thỏa:
$\tan 60^\circ = \dfrac{SH}{d_{BD}}$
Khoảng cách từ $M$ đến $BD$:
$BD = \sqrt{(2a-0)^2 + (2a-0)^2} = \sqrt{8}a = 2\sqrt{2}a$
Hình chiếu vuông góc từ $M$ xuống $BD$ là:
$d_{M,BD} = \text{?}$
Để đơn giản, sau khi tính theo tọa độ và công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong không gian, ta thu được khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBD)$ (hoặc $(SCD)$ gần đó) gần bằng:
$d \approx 0,85a$
Chọn hệ trục tọa độ thuận tiện:
$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,2a,0),\ C(a,2a,0),\ S(0,0,a)$
Trung điểm $M$ của $AD$ là:
$M = \left( \dfrac{0+0}{2}, \dfrac{0+2a}{2}, 0 \right) = (0,a,0)$
Mặt phẳng $(SCD)$ đi qua $S(0,0,a),\ C(a,2a,0),\ D(0,2a,0)$
Vector chỉ phương:
$\overrightarrow{SC} = (a,2a,-a),\quad \overrightarrow{SD} = (0,2a,-a)$
Vector pháp tuyến:
$\overrightarrow{n} = \overrightarrow{SC} \times \overrightarrow{SD} = (2a^2, a^2, 2a^2)$
Phương trình mặt phẳng $(SCD)$:
$2(x-0) + 1(y-0) + 2(z-a) = 0 \implies 2x + y + 2z - 2a = 0$
Khoảng cách từ $M(0,a,0)$ đến mặt phẳng:
$h = \dfrac{|2\cdot0 + 1\cdot a + 2\cdot0 - 2a|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2}} = \dfrac{|a-2a|}{\sqrt{4+1+4}} = \dfrac{a}{3}$
Chọn B.
Phương pháp:
Gắn hệ trục tọa độ.
Cách giải:
Vây, khoảng cách từ N đến mặt phẳng (MCD) bằng: 1 4 a