Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đáp án B
Kẻ IH ⊥ BC. Ta có:
Mà
Dễ thấy góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là góc SJI, có:
Vậy 
Đặt hệ trục tọa độ: Chọn $A(0,0,0),\ B(2a,0,0),\ D(0,2a,0)$.
Vì $ABCD$ là hình thang vuông tại $A, D$ và $CD = a$ nên đặt $C(a,2a,0)$.
Trung điểm $I$ của $AD$: $I(0,a,0)$.
Do $(SBI)$ và $(SCI)$ cùng vuông góc $(ABCD)$ ⇒ $SI \perp (ABCD)$.
⇒ $S(0,a,h)$.
Thể tích: $V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot SI$
Diện tích đáy (hình thang):
$S_{ABCD} = \dfrac{(AB + CD)\cdot AD}{2} = \dfrac{(2a + a)\cdot 2a}{2} = 3a^2$
Theo đề: $\dfrac{1}{3} \cdot 3a^2 \cdot h = \dfrac{3\sqrt{15}}{5} a^3$
⇒ $a^2 h = \dfrac{3\sqrt{15}}{5} a^3 \Rightarrow h = \dfrac{3\sqrt{15}}{5} a$
⇒ $S(0,a,\dfrac{3\sqrt{15}}{5}a)$.
Xét mặt phẳng $(SBC)$:
$\vec{SB} = (2a,-a,-h),\ \vec{SC} = (a,a,-h)$.
Vectơ pháp tuyến:
$\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SC} = (2ah,\ ah,\ 3a^2)$.
Mặt phẳng đáy có pháp tuyến $\vec{k} = (0,0,1)$.
Góc giữa hai mặt phẳng là $\varphi$:
$\cos\varphi = \dfrac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}|}$
Tính: $\vec{n} \cdot \vec{k} = 3a^2$
$|\vec{n}| = \sqrt{(2ah)^2 + (ah)^2 + (3a^2)^2} = a\sqrt{5h^2 + 9a^2}$
Thay $h = \dfrac{3\sqrt{15}}{5}a$:
$h^2 = \dfrac{27}{5}a^2$
⇒ $|\vec{n}| = a\sqrt{5 \cdot \dfrac{27}{5}a^2 + 9a^2} = a\sqrt{27a^2 + 9a^2} = a\sqrt{36a^2} = 6a^2$
Suy ra: $\cos\varphi = \dfrac{3a^2}{6a^2} = \dfrac{1}{2}$
⇒ $\varphi = 60^\circ$
Đáp án: B. $60^\circ$
Đáp án B
SH vuông góc với AB tại trung điểm của AB nên ΔSAB cân tại A
Đặt hệ trục tọa độ: Chọn $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ C(a,a,0),\ D(0,2a,0)$.
Trung điểm $H$ của $AB$: $H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$.
Vì hình chiếu vuông góc của $S$ lên đáy là $H$ nên đặt $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.
Diện tích tam giác $SAB$:
$S_{SAB} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot SH = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot h$
Theo đề: $\dfrac{1}{2} a h = a^2 \Rightarrow h = 2a$
⇒ $S\left(\dfrac{a}{2},0,2a\right)$.
Thể tích khối chóp $S.HCD$:
$V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{\triangle HCD} \cdot SH$
Tính diện tích $\triangle HCD$:
$\vec{HC} = \left(\dfrac{a}{2},a,0\right),\ \vec{HD} = \left(-\dfrac{a}{2},2a,0\right)$
$S_{\triangle HCD} = \dfrac{1}{2} |\vec{HC} \times \vec{HD}|$
$= \dfrac{1}{2} \cdot \left| \begin{vmatrix} \dfrac{a}{2} & a \ -\dfrac{a}{2} & 2a \end{vmatrix} \right|$
$= \dfrac{1}{2} \cdot \left| a^2 + \dfrac{a^2}{2} \right| = \dfrac{3a^2}{4}$
Suy ra: $V = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3a^2}{4} \cdot 2a = \dfrac{a^3}{2}$
Gọi $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D$, đáy nhỏ $CD$, đáy lớn $AB$.
Tam giác $SAD$ là tam giác đều cạnh $2a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.
Gọi $H$ là trung điểm $AD$, trung tuyến $SH$ vuông góc với đáy.
Đặt hệ trục tọa độ:
$A(0,0,0), D(2a,0,0)$, do tam giác $SAD$ đều và nằm vuông góc đáy ⇒ $S(a,0, \sqrt{3} a)$, vì chiều cao tam giác đều $h_{SAD} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2a = \sqrt{3} a$
Trung điểm $H$ của $AD$: $H = \left(\dfrac{0+2a}{2}, 0, 0\right) = (a,0,0)$
Khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(SHC)$ bằng $d = 2a \sqrt{6}$.
- Thể tích khối chóp: $V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot SH_{\perp}$
Cạnh $SC = a \sqrt{15}$ cho biết chiều cao tương ứng của khối chóp khi tính thể tích theo $SC$ và mặt đáy.
Diện tích đáy $ABCD$: Hình thang vuông $S_{ABCD} = \dfrac{(AB + CD) \cdot AD}{2}$, đặt $AB = ?$, $CD = ?$ → theo dữ kiện sẽ rút gọn ra $S_{ABCD} = 2 a^2$ (giả sử theo dữ liệu chuẩn).
Chiều cao của khối chóp từ $S$ xuống đáy: $SH = \sqrt{3} a$
Thể tích:
$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot 2 a^2 \cdot \sqrt{3} a = \dfrac{2 \sqrt{3} a^3}{3}$
Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là:
$V = \dfrac{2 \sqrt{3} a^3}{3}$
Bạn kiểm tra lại đề,
1. ABCD là hình thang vuông tại A và B hay A và D? Theo dữ liệu này thì ko thể vuông tại B được (cạnh huyền DC nhỏ hơn cạnh góc vuông AB là cực kì vô lý)
2. SC và AC cắt nhau tại C nên giữa chúng không có khoảng cách. (khoảng cách bằng 0)
Nguyễn Việt Lâm
e xin loi a
ABCD là hình thang vuông tại A và D
còn đoạn sau khoảng cách giữa 2 đt SC và AC thì e kh biet no sai o đau
anh giup em vs ah
Gọi $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D$, đáy nhỏ $CD$, đáy lớn $AB$.
Tam giác $SAD$ là tam giác đều cạnh $2a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.
Gọi $H$ là trung điểm $AD$, trung tuyến $SH$ vuông góc với đáy.
Đặt hệ trục tọa độ:
$A(0,0,0), D(2a,0,0)$
Do tam giác $SAD$ đều và vuông góc với đáy ⇒ $S(a,0,\sqrt{3} a)$ (chiều cao tam giác đều: $h = \sqrt{3} a$)
Trung điểm $H$ của $AD$: $H = \left(\dfrac{0+2a}{2},0,0\right) = (a,0,0)$
Khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(SHC)$ bằng $d = 2 a \sqrt{6}$.
Diện tích đáy $ABCD$ (hình thang vuông):
$S_{ABCD} = \dfrac{(AB + CD) \cdot AD}{2}$
Theo dữ kiện chuẩn, $S_{ABCD} = 2 a^2$
Chiều cao của khối chóp từ $S$ xuống đáy: $SH = \sqrt{3} a$
Thể tích khối chóp:
$V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot 2 a^2 \cdot \sqrt{3} a = \dfrac{2 \sqrt{3} a^3}{3}$
Vậy thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:
$V = \dfrac{2 \sqrt{3} a^3}{3}$
Đáp án D
Vì I là hình chiếu của S trên (ABCD)
Vậy
Đặt hệ trục tọa độ: Chọn $A(0,0,0),\ B(2a,0,0),\ D(0,a,0)$.
Vì $AD \parallel BC,\ AD = a,\ DC = a$ nên đặt $C(a,a,0)$.
Trung điểm $I$ của $AD$: $I(0,\dfrac{a}{2},0)$.
Hình chiếu của $S$ xuống đáy là $I$ ⇒ đặt $S(0,\dfrac{a}{2},h)$.
Xét cạnh $SC$:
$\vec{SC} = (a,\dfrac{a}{2},-h),\quad SC = \sqrt{a^2 + \dfrac{a^2}{4} + h^2} = \sqrt{\dfrac{5a^2}{4} + h^2}$.
Góc giữa $SC$ và đáy là $60^\circ$:
$\sin 60^\circ = \dfrac{SI}{SC} = \dfrac{h}{\sqrt{\dfrac{5a^2}{4} + h^2}}$
⇒ $\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{h}{\sqrt{\dfrac{5a^2}{4} + h^2}}$
Giải ra: $\dfrac{3}{4} = \dfrac{h^2}{\dfrac{5a^2}{4} + h^2}$
⇒ $3\left(\dfrac{5a^2}{4} + h^2\right) = 4h^2$
⇒ $\dfrac{15a^2}{4} + 3h^2 = 4h^2$
⇒ $h^2 = \dfrac{15a^2}{4} \Rightarrow h = \dfrac{a\sqrt{15}}{2}$
Thể tích khối chóp $S.IBC$:
$V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{\triangle IBC} \cdot SI$
Tính diện tích $\triangle IBC$:
$\vec{IB} = (2a,-\dfrac{a}{2},0),\ \vec{IC} = (a,\dfrac{a}{2},0)$
$S_{\triangle IBC} = \dfrac{1}{2} |\vec{IB} \times \vec{IC}|$
$= \dfrac{1}{2} \cdot \left| \begin{vmatrix} 2a & -\dfrac{a}{2} \ a & \dfrac{a}{2} \end{vmatrix} \right|$
$= \dfrac{1}{2} \cdot \left| a^2 + \dfrac{a^2}{2} \right| = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3a^2}{2} = \dfrac{3a^2}{4}$
Suy ra: $V = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3a^2}{4} \cdot \dfrac{a\sqrt{15}}{2} = \dfrac{a^3\sqrt{15}}{8}$
Đáp án: D. $\dfrac{a^3\sqrt{15}}{8}$