Gọi E là trung điểm AB, ta có đáy tạo bởi ba tam giác đều ADE, DEC, CEB.

Suy ra, góc ADE bằng 60^o, góc EDB bằng 30^o.

Suy ra, tam giác ADB và SDB là hai tam giác vuông tại D.

Suy ra, góc tạo bởi (SBD) và đáy ABCD là góc SDA với độ lớn 45^o.

Suy ra, SA=a.

d(C,(SBD))=d(E,(SBD))=(1/2).d(A,(SBD))=(1/2).a\(\sqrt{2}\)/2=a\(\sqrt{2}\)/4.

Đáp án là B 

Gọi H là trung điểm của AB . Tam giác SAB đều nên suy ra SH ⊥AB  . Theo giả thiết (SAB) vuông góc với ( ABCD) và có giao tuyến AB nên suy ra SH ⊥ (ABCD) tại H . Có AH ∩ (SBD) = B nên

Trong ( ABCD) kẻ HI ⊥ BD  tại I , kết hợp SH ⊥ (ABCD) ta suy ra

BD⊥ (SHI) =>  (SHI)  ⊥ (SBD) , mà (SHI )  ∩ (SBD) = SI nên trong (SHI) nếu ta kẻ HK ⊥ SI  tại K thì HK ⊥ (SBD) tại K , do đó HK = d (H,( SBD)) .

Ta tính được : 

Tam giác SAB đều cạnh 2a nên SH=a 3

Tam giác SHI vuông tại H đường cao HK nên 

Vậy khoảng cách từ A đến (SBD) là:  a 3 2

Phương pháp:

Xác định chiều cao hình chóp bằng kiến thức 

Xác định khoảng cách

Tính toán bằng cách sử dụng quan hệ diện tích, định lý hàm số cosin, công thức tính diện tích tam giác S =  1 2 a.h với a là cạnh đáy, h là chiều cao tương ứng và 

 Cách giải:

Gọi H = AM ∪ BD

Ta có 

Vì AB//CD nên theo định lý Ta-lét ta có

Ta có 

Vì M là trung điểm của DC và ABCD là hình bình hành có diện tích 2 a 2  nên ta có:

Lại có CD = AB = a 2

Khi đó 

Lại có 

Từ đó 

Chọn: C

Đáp án B

Chọn hệ trục tọa độ thuận tiện:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,2a,0),\ C(a,2a,0),\ S(0,0,a)$

Vì $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a$.

Trung điểm $M$ của $AD$ là:

$M = \left(\dfrac{0+0}{2}, \dfrac{0+2a}{2}, 0\right) = (0, a, 0)$

Mặt phẳng $(SCD)$ đi qua $S(0,0,a),\ C(a,2a,0),\ D(0,2a,0)$.

Vector chỉ phương của mặt phẳng:

$\overrightarrow{SC} = (a,2a,-a),\ \overrightarrow{SD} = (0,2a,-a)$

Vector pháp tuyến:

$\overrightarrow{n} = \overrightarrow{SC} \times \overrightarrow{SD}=\begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \a & 2a & -a \0 & 2a& -a\end{vmatrix} = (0\cdot(-a)-2a\cdot(-a),\ - (a\cdot(-a)-0\cdot(-a)),\ a\cdot2a-0\cdot2a)= (2a^2, a^2, 2a^2)$

Phương trình mặt phẳng $(SCD)$:

$2a^2(x-0) + a^2(y-0) + 2a^2(z-a) = 0 \implies 2x + y + 2(z - a) = 0 \implies 2x + y + 2z - 2a = 0$

Khoảng cách từ $M(0,a,0)$ đến mặt phẳng:

$h = \dfrac{|2\cdot0 + 1\cdot a + 2\cdot0 - 2a|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2}} = \dfrac{|a - 2a|}{\sqrt{4+1+4}} = \dfrac{a}{3}$

Đáp án A

Gắn trục tọa độ Axyz với A là gốc tọa độ sao cho:

Tia Ax trùng tia AB; tia Ay trùng tia AD; tia Az trùng tia AS.

Khi đó:

Gọi O là tâm hình vuông ABCD.

Do góc giữa mặt phẳng(SBD)và (ABCD) bằng 60 o nên  S O A ⏞ = 60 o

⇒ S 0 ; 0 ; a 6 2

 Mặt phẳng (P) chứa SC và song song với BM có vecto pháp tuyến là ( 6 ; 2 6 ; 6 ) / / 1 ; 2 ; 6  nên có phương trình:

x + 2 y + 6 z - 3 a = 0

 Do đó: d ( S C , B M ) = d ( B ; ( P ) ) = 2 a 11 (đvđd).

Đặt hệ trục tọa độ: Chọn $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,b,0)$. Ta sẽ xác định $b$ sau.

Vì $BC = 2a$ và $BD = a\sqrt{10}$, đặt $C$ sao cho đáy là hình thang vuông tại $A$ và $B$. Ta chọn $C(a+c,d,0)$, nhưng để đơn giản, ta có thể đặt $C$ theo tọa độ $C$ sao cho $BC = 2a$.

Trung điểm $H$ của $AB$: $H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$ là hình chiếu của $S$ ⇒ $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Xét góc giữa $SD$ và mặt phẳng đáy:

Hình chiếu $H$ ⇒ độ cao $SH = h$, đường chéo $SD$ → góc với đáy 60° ⇒ $\sin 60^\circ = \dfrac{SH}{SD}$

Cạnh $SD = \sqrt{(\dfrac{a}{2}-x_D)^2 + (0 - y_D)^2 + h^2}$

Với $D(0,b,0)$, ta có: $SD = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + b^2 + h^2}$

Theo đề: $\sin 60^\circ = \dfrac{h}{\sqrt{(\frac{a}{2})^2 + b^2 + h^2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

⇒ $\dfrac{3}{4} = \dfrac{h^2}{\frac{a^2}{4} + b^2 + h^2} \Rightarrow 3\left(\frac{a^2}{4} + b^2 + h^2\right) = 4 h^2$

⇒ $\frac{3 a^2}{4} + 3b^2 + 3h^2 = 4h^2 \Rightarrow h^2 = \frac{3a^2}{4} + 3b^2$

Ta cần xác định $b$ từ dữ kiện đáy:

$BD^2 = a^2 + b^2 = 10 a^2 \Rightarrow b^2 = 9a^2 \Rightarrow b = 3a$

Vậy: $h^2 = \dfrac{3 a^2}{4} + 3 \cdot (3a)^2 = \dfrac{3a^2}{4} + 27 a^2 = \dfrac{111 a^2}{4}$

⇒ $h = \dfrac{\sqrt{111}}{2} a$

Diện tích đáy $ABCD$ (hình thang):

$AD \parallel BC$, $AD$ chưa biết, nhưng hình thang vuông tại $A$ và $B$ ⇒ $AD = ?$

Đặt $A(0,0,0), B(a,0,0), D(0,3a,0), C(2a,3a,0)$ để thỏa mãn $BC = 2a$ và $BD^2 = a^2 + 3a^2 = 10 a^2$

Diện tích đáy:

$S_{ABCD} = \dfrac{(AD + BC) \cdot \text{chiều cao}}{2} = \dfrac{(3a + 2a)\cdot 3a}{2} = \dfrac{15 a^2}{2}$

Thể tích:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{15 a^2}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{111}}{2} a = \dfrac{15 \sqrt{111}}{12} a^3 = \dfrac{5 \sqrt{111}}{4} a^3$

Chọn D

Ta có 

Gọi H là trung điểm AB thì ,

kẻ , ta có  là góc giữa (SBD) và (ABCD), do đó  = 60⁰

Gọi AM là đường cao của tam giác vuông ABD. Khi đó, ta có:

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,3a,0)$.

Trung điểm $H$ của $AB$ là hình chiếu của $S$ lên đáy: $H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right) \implies S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Đường chéo $BD$:

$BD^2 = (a-0)^2 + (0-3a)^2 = a^2 + 9a^2 = 10a^2$.

Góc giữa mặt phẳng $(SBD)$ và đáy là $60^\circ$, do đó:

$\sin 60^\circ = \dfrac{SH}{\sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + (3a)^2 + h^2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Giải ra: $\dfrac{3}{4} = \dfrac{h^2}{\dfrac{37 a^2}{4} + h^2} \implies 3\left(\dfrac{37a^2}{4} + h^2\right) = 4h^2 \implies h^2 = \dfrac{111 a^2}{4} \implies h = \dfrac{\sqrt{111}}{2} a$.

Diện tích đáy $ABCD$ (hình thang vuông tại $A$ và $B$):

$S_{ABCD} = \dfrac{(AD + BC) \cdot \text{chiều cao}}{2} = \dfrac{(3a + 2a) \cdot 3a}{2} = \dfrac{15 a^2}{2}$.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{15 a^2}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{111}}{2} a = \dfrac{15 \sqrt{111}}{12} a^3 = \dfrac{5 \sqrt{111}}{4} a^3$.

$\boxed{V = \dfrac{5 \sqrt{111}}{4} a^3}$