Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a, góc BAD=120. Mặt bên (SAB) có SA=a, SB= a\(\sqrt{3}\) và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi G là trọng tâm tam giác SCD. Tính thể tích hình chóp SABCD và khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SAB). 
S o B H A D G d H' C K
Câu a bạn tự tính nhé!
Câu b: Qua G kẻ đường thẳng d // CD , khoảng cách từ \(d\left(G;\left(SAB\right)\right)=d\left(d;\left(SAD\right)\right)\)
Kẻ HH' vuông CD , nối SH'. Lúc này SH' cách d tại K . \(d\left(K;\left(SAB\right)\right)\) là khoảng cách cần tìm.
Ta có: SH'AB =\(\frac{1}{2}S_{ABCD}\)=\(\frac{1}{2}\times2\sqrt{3}a^2=\sqrt{3}a^2\) \(\Rightarrow HH'=\frac{\sqrt{3}a^2}{a}=\sqrt{3}a\)
Vì K nằm trên d nên \(d\left(K;\left(SAB\right)\right)=\frac{2}{3}HH'=\frac{2\sqrt{3}a}{3}\)
Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ D(2a,0,0)$.
Vì $AD = 2a$, tam giác $SAD$ đều và $(SAD)\perp(ABCD)$ nên:
$S\left(a,0,a\sqrt3\right)$.
Đáy là hình thang vuông tại $A,D$ nên:
$B(0,b,0),\ C(x,b,0)$ với $CD \parallel AB$.
Do $CD$ là đáy nhỏ nên $x < 2a$.
Ta có: $SC = a\sqrt{15}$ nên: $SC^2 = (x-a)^2 + b^2 + (0 - a\sqrt3)^2 = 15a^2.$
$(x-a)^2 + b^2 + 3a^2 = 15a^2 \Rightarrow (x-a)^2 + b^2 = 12a^2. \quad (1)$
Gọi $H$ là trung điểm $AD$: $H(a,0,0)$.
Mặt phẳng $(SHC)$.
Khoảng cách từ $B(0,b,0)$ đến $(SHC)$ bằng $2a\sqrt6$.
Tính vectơ: $\vec{SH} = (0,0,-a\sqrt3),\ \vec{SC} = (x-a,b,-a\sqrt3)$.
Pháp tuyến: $\vec{n} = \vec{SH} \times \vec{SC} = (a\sqrt3\,b,\ a\sqrt3(x-a),\ 0)$.
Phương trình mặt phẳng $(SHC)$:
$a\sqrt3\,b(x-a) + a\sqrt3(x-a)(y-0) = 0$.
Khoảng cách: $d(B,(SHC)) = \dfrac{|a\sqrt3\,b(0-a) + a\sqrt3(x-a)(b)|}{\sqrt{(a\sqrt3 b)^2 + (a\sqrt3(x-a))^2}} = 2a\sqrt6.$
Rút gọn được:$ \dfrac{a\sqrt3\,b(x-a)}{a\sqrt3\sqrt{b^2 + (x-a)^2}} = 2a\sqrt6\Rightarrow \dfrac{b(x-a)}{\sqrt{b^2 + (x-a)^2}} = 2\sqrt6 a.$
Kết hợp với (1): $b^2 + (x-a)^2 = 12a^2$.
Suy ra: $b(x-a) = 2\sqrt6 a \cdot \sqrt{12a^2} = 2\sqrt6 a \cdot 2\sqrt3 a = 4\sqrt{18}a^2 = 12\sqrt2 a^2$.
Giải hệ: $\begin{cases}u^2 + v^2 = 12a^2 \\uv = 12\sqrt2 a^2\end{cases}\Rightarrow u = 2\sqrt2 a,\ v = 2\sqrt6 a.$
Suy ra:$b = 2\sqrt6 a,\quad x-a = 2\sqrt2 a \Rightarrow x = a + 2\sqrt2 a$.
Diện tích đáy: $S_{ABCD} = \dfrac{(AB + CD)\cdot chiều\ cao}{2}= \dfrac{(b + x)\cdot b}{2}= \dfrac{(2\sqrt6 a + (a + 2\sqrt2 a))\cdot 2\sqrt6 a}{2}.$
Rút gọn: $S_{ABCD} = \sqrt6 a(2\sqrt6 a + a + 2\sqrt2 a)$.
Chiều cao: $h = a\sqrt3$.
Thể tích: $V = \dfrac13 S_{ABCD}\cdot h = \dfrac13 \cdot \sqrt6 a(2\sqrt6 a + a + 2\sqrt2 a)\cdot a\sqrt3 = 4a^3.$
Vậy $V = 4a^3$.
