Xét mặt phẳng đáy (ABCD) là hình thang cân. Kéo dài AC cắt BD tại I ta thu được tam giác đều ICD. 

Do đó AD và BC đồng thời là đường cao và là đường trung tuyến của tam giác ICD. Suy ra O là trọng tâm của tam giác ICD (Với O là giao của AD và BC)

Ta có: \(AD=\sqrt{CD^2-AC^2}=a\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow OA=\dfrac{1}{3}a\sqrt{3}\)

Vì hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và có giao tuyến là SO. Do đó SO vuông góc với (ABCD)

Xét tam giác SOB vuông tại O ta có: 

\(SO=\sqrt{SA^2-OA^2}=\dfrac{\sqrt{15}}{3}a\)

Vậy khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) là \(\dfrac{\sqrt{15}}{3}a\)

Ta có: \(S_{ABCD}=\dfrac{3}{4}.S_{ICD}=\dfrac{3}{4}.\dfrac{AD.CI}{2}=\dfrac{3}{8}.a\sqrt{3}.2a=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}a^2\)

\(\Rightarrow V_{S.ABCD}=\dfrac{1}{3}.SO.S_{ABCD}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{\sqrt{15}}{3}a.\dfrac{3\sqrt{3}}{4}a^2=\dfrac{\sqrt{5}}{4}a^3\)

ĐÁP ÁN: A

Đặt hệ trục tọa độ: Chọn $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,2a,0),\ C(a,2a,0)$.

Vì $(SAC)$ và $(SBD)$ cùng vuông góc với đáy nên suy ra $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy đi qua giao điểm hai đường chéo $AC$ và $BD$, tức là tâm $O$ của hình chữ nhật.

⇒ $O\left(\dfrac{a}{2},a,0\right)$, đặt $S\left(\dfrac{a}{2},a,h\right)$.

Xét khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SD$:

$\vec{AB} = (a,0,0),\ \vec{SD} = \left(-\dfrac{a}{2},a,-h\right)$.

Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau:

$d = \dfrac{|(\vec{AS} \cdot (\vec{AB} \times \vec{SD}))|}{|\vec{AB} \times \vec{SD}|}$

với $\vec{AS} = \left(\dfrac{a}{2},a,h\right)$.

Tính: $\vec{AB} \times \vec{SD} = (a,0,0) \times \left(-\dfrac{a}{2},a,-h\right) = (0,ah,a^2)$.

$\vec{AS} \cdot (\vec{AB} \times \vec{SD}) = \dfrac{a}{2}\cdot 0 + a\cdot ah + h\cdot a^2 = a^2h + a^2h = 2a^2h$.

$|\vec{AB} \times \vec{SD}| = \sqrt{(ah)^2 + a^4} = a\sqrt{h^2 + a^2}$.

Suy ra: $d = \dfrac{2a^2h}{a\sqrt{h^2 + a^2}} = \dfrac{2ah}{\sqrt{h^2 + a^2}}$.

Theo đề:
$\dfrac{2ah}{\sqrt{h^2 + a^2}} = a\sqrt{3}$

⇒ $\dfrac{2h}{\sqrt{h^2 + a^2}} = \sqrt{3}$

Giải ra: $\dfrac{4h^2}{h^2 + a^2} = 3 \Rightarrow 4h^2 = 3h^2 + 3a^2 \Rightarrow h^2 = 3a^2$

⇒ $h = a\sqrt{3}$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot SO$

$S_{ABCD} = 2a^2,\quad SO = h = a\sqrt{3}$

Suy ra: $V = \dfrac{1}{3} \cdot 2a^2 \cdot a\sqrt{3} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}a^3$

Đáp án B

Kẻ IH ⊥ BC. Ta có: 

Mà 

Dễ thấy góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là góc SJI, có: 

Vậy 

Đặt hệ trục tọa độ: Chọn $A(0,0,0),\ B(2a,0,0),\ D(0,2a,0)$.

Vì $ABCD$ là hình thang vuông tại $A, D$ và $CD = a$ nên đặt $C(a,2a,0)$.

Trung điểm $I$ của $AD$: $I(0,a,0)$.

Do $(SBI)$ và $(SCI)$ cùng vuông góc $(ABCD)$ ⇒ $SI \perp (ABCD)$.

⇒ $S(0,a,h)$.

Thể tích: $V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot SI$

Diện tích đáy (hình thang):

$S_{ABCD} = \dfrac{(AB + CD)\cdot AD}{2} = \dfrac{(2a + a)\cdot 2a}{2} = 3a^2$

Theo đề: $\dfrac{1}{3} \cdot 3a^2 \cdot h = \dfrac{3\sqrt{15}}{5} a^3$

⇒ $a^2 h = \dfrac{3\sqrt{15}}{5} a^3 \Rightarrow h = \dfrac{3\sqrt{15}}{5} a$

⇒ $S(0,a,\dfrac{3\sqrt{15}}{5}a)$.

Xét mặt phẳng $(SBC)$:

$\vec{SB} = (2a,-a,-h),\ \vec{SC} = (a,a,-h)$.

Vectơ pháp tuyến:
$\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SC} = (2ah,\ ah,\ 3a^2)$.

Mặt phẳng đáy có pháp tuyến $\vec{k} = (0,0,1)$.

Góc giữa hai mặt phẳng là $\varphi$:

$\cos\varphi = \dfrac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}|}$

Tính: $\vec{n} \cdot \vec{k} = 3a^2$

$|\vec{n}| = \sqrt{(2ah)^2 + (ah)^2 + (3a^2)^2} = a\sqrt{5h^2 + 9a^2}$

Thay $h = \dfrac{3\sqrt{15}}{5}a$:

$h^2 = \dfrac{27}{5}a^2$

⇒ $|\vec{n}| = a\sqrt{5 \cdot \dfrac{27}{5}a^2 + 9a^2} = a\sqrt{27a^2 + 9a^2} = a\sqrt{36a^2} = 6a^2$

Suy ra: $\cos\varphi = \dfrac{3a^2}{6a^2} = \dfrac{1}{2}$

⇒ $\varphi = 60^\circ$

Đáp án: B. $60^\circ$

a, Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}AB\perp SA\left(do:SA\perp\left(ABCD\right)\right)\\AB\perp AD\left(gt\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow AB\perp\left(SAD\right)\)

Từ C kẻ CH // AB  ⇒ CH ⊥ (SAD)

⇒ d (C, (SAD)) = CH = 2a

b, Ta có: \(\left(SAC\right)\cap\left(ABCD\right)=AC\)

Hạ DE ⊥ AC ⇒ DE ⊥ (SAC)

⇒ d(D, (SAC)) = DE

Ta có: AC = 2a√2, AH = HC 2a và HD = a

Xét tam giác HDC vuông tại H, có: \(DC=\sqrt{HD^2+HC^2}=a\sqrt{5}\)

Xét tam giác AHC vuông cân tại H, có: \(\widehat{HAC}=45^o=\widehat{DAE}\)

Xét tam giác ADE vuông tại E, có: \(DE=AD.sin\widehat{DAE}=\dfrac{3a\sqrt{2}}{2}\)

Tham khảo

thanks

a) Tam giác ABD có AB = AD ( do ABCD là hình thoi)

=> Tam giác ABD cân tại A. Lại có góc A= 60o

=> Tam giác ABD đều.

Lại có; SA = SB = SD nên hình chóp S.ABD là hình chóp đều.

* Gọi H là tâm của tam giác ABD

=>SH ⊥ (ABD)

*Gọi O là giao điểm của AC và BD.

- Gọi O là giao điểm của AC và BD.

- Kẻ: OI ⊥ AB, OH ⊥ SI.

+) Ta có:

+) Ta lại có:

- Do đó, góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng góc 

+) Khi đó: CD // AB nên CD // ( SAB).

Suy ra:

- Ta có:

+) Tam giác ABC có BC = BA và  nên tam giác ABC đêù

- Trong tam giác OIA có:

Chọn C

Phương pháp:

- Xác định góc giữa mặt phẳng (SBD) với (ABD) (góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến)

- Tính khoảng cách dựa vào công thức tỉ số khoảng cách:

Cách giải

Đặt hệ trục tọa độ: Chọn $A(0,0,0),\ B(2a,0,0)$.

Gọi $D(x,h,0),\ C(x+a,h,0)$ (vì $DC = a$ và $AB \parallel DC$).

Điều kiện:
$AD = a \Rightarrow x^2 + h^2 = a^2$
$BC = a \Rightarrow (x-a)^2 + h^2 = a^2$

Lấy hiệu: $(x-a)^2 - x^2 = 0 \Rightarrow -2ax + a^2 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{a}{2}$

Thay vào: $\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h^2 = a^2 \Rightarrow h^2 = \dfrac{3a^2}{4} \Rightarrow h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

Suy ra: $D\left(\dfrac{a}{2},\dfrac{a\sqrt{3}}{2},0\right),\ C\left(\dfrac{3a}{2},\dfrac{a\sqrt{3}}{2},0\right)$.

Vì $SA \perp (ABCD)$ nên đặt $S(0,0,h)$.

Xét mặt phẳng $(SBD)$: $\vec{SB} = (2a,0,-h),\ \vec{SD} = \left(\dfrac{a}{2},\dfrac{a\sqrt{3}}{2},-h\right)$.

Vectơ pháp tuyến:
$\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SD} = \left(\dfrac{a h\sqrt{3}}{2},\ \dfrac{3ah}{2},\ a^2\sqrt{3}\right)$.

Góc giữa $(SBD)$ và đáy là $45^\circ$:

$\sin 45^\circ = \dfrac{|\text{hệ số }z|}{|\vec{n}|} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{\sqrt{\dfrac{3a^2h^2}{4} + \dfrac{9a^2h^2}{4} + 3a^4}}$

Rút gọn:

$\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{\sqrt{3a^2h^2 + 3a^4}} = \dfrac{a\sqrt{3}}{\sqrt{3h^2 + 3a^2}}$

⇒ $\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}}$

⇒ $h^2 + a^2 = 2a^2 \Rightarrow h^2 = a^2 \Rightarrow h = a$

⇒ $S(0,0,a)$.

Trung điểm $I$ của $AB$: $I(a,0,0)$.

Khoảng cách từ $I$ đến $(SBD)$: $\vec{SI} = (a,0,-a)$

$d = \dfrac{|\vec{n} \cdot \vec{SI}|}{|\vec{n}|}$

Tính: $\vec{n} \cdot \vec{SI} = \dfrac{a h\sqrt{3}}{2} \cdot a + 0 + a^2\sqrt{3} \cdot (-a) = \dfrac{a^2h\sqrt{3}}{2} - a^3\sqrt{3}$

Thay $h = a$:

$= \dfrac{a^3\sqrt{3}}{2} - a^3\sqrt{3} = -\dfrac{a^3\sqrt{3}}{2}$

⇒ giá trị tuyệt đối: $\dfrac{a^3\sqrt{3}}{2}$

$|\vec{n}| = \sqrt{3a^2h^2 + 3a^4} = a^2\sqrt{6}$

Suy ra: $d = \dfrac{\dfrac{a^3\sqrt{3}}{2}}{a^2\sqrt{6}} = \dfrac{a}{2\sqrt{2}} = \dfrac{a\sqrt{2}}{4}$

Vậy $\dfrac{a\sqrt{2}}{4}$