\(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp AC\Rightarrow\Delta SAC\) vuông cân tại A

\(\Rightarrow SA=AC=\dfrac{SC}{\sqrt[]{2}}=2a\sqrt{2}\)

ABCD là hình vuông \(\Rightarrow AB=\dfrac{AC}{\sqrt{2}}=2a\)

\(\Rightarrow V=\dfrac{1}{3}SA.AB^2=\dfrac{8a^3\sqrt{2}}{3}\)

\(\alpha=\widehat{BSA}\Rightarrow tan\alpha=\dfrac{AB}{SA}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow\alpha\approx35^016'\)

Link tham khảo : Cho hình chóp (S.ABCD ) có đáy (ABCD ) là hình thoi cạnh (a ).

P/s: Giá như tui ko ngu hình ko gian và ko lười làm nó thì có lẽ tui đã làm được hic :(

a: \(AD=2\cdot BC=2a\sqrt3\)

Diện tích đáy là:

\(S_{ABCD}=\frac12\cdot\left(AD+BC\right)\cdot AB=\) \(\frac12\left(2a\sqrt3+a\sqrt3\right)\cdot a\sqrt3=\frac12\cdot3a\sqrt3\cdot a\sqrt3=\frac{9a^2}{2}\)

ΔABC vuông tại B

=>\(AC^2=BA^2+BC^2=\left(a\sqrt3\right)^2+\left(a\sqrt3\right)^2=6a^2\)

=>\(AC=a\sqrt6\)

SA⊥(ABCD)

=>\(\hat{SC;\left(ABCD\right)}=\hat{SC;CA}=\hat{SCA}\)

Xét ΔSAC vuông tại A có tan SCA=\(\frac{SA}{AC}\)

=>\(SA=AC\cdot\tan60=a\sqrt6\cdot\sqrt3=a\sqrt{18}=3a\sqrt2\)

\(V=\frac13\cdot SA\cdot S_{ABCD}\)

\(=\frac13\cdot3a\sqrt2\cdot\frac{9a^2}{2}=a\sqrt2\cdot\frac{9a^2}{2}=9\sqrt2\cdot\frac{a^3}{2}\)

b: E là trung điểm của SC

=>\(h_E = d(E, (ABCD)) = \frac{1}{2} SA = \frac{3a\sqrt{2}}{2}\)

Diện tích tam giác ACD là:

\(S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 2a\sqrt{3} \cdot a\sqrt{3} = 3a^2\)

\(V_{EACD} = \frac{1}{3} \cdot S_{\triangle ACD} \cdot h_E = \frac{1}{3} \cdot 3a^2 \cdot \frac{3a\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}a^3}{2}\)

a) Dễ dàng chứng minh tam giác ABC và ACD đều

Suy ra AC=a, SA= AC.tan(gócSCA)=a.tan(60⁰)

\(V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.SA.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.a\sqrt{3}.a^2.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a^3}{2}\)

b) Có 2 cách làm để tìm khoảng cách từ H đến mp(SCD), nhưng bạn nên chọn phương pháp tọa độ hóa cho dễ

Chọn A làm gốc tọa độ , các tia AD, AI, AS lần lượt trùng tia Ax, Ay, Az

Có ngay tọa độ các điểm \(S\left(0;0;a\sqrt{3}\right)\) , \(D\left(a;0;0\right)\) , \(I\left(0;\frac{a\sqrt{3}}{2};0\right)\)

\(\Rightarrow C\left(\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};0\right)\)

theo số liệu đã cho, dễ xác định được điểm H chia đoạn SI với tỷ lệ 2:1

\(\Rightarrow H\left(0;\frac{a}{\sqrt{3}};\frac{a}{\sqrt{3}}\right)\)

Bây giờ chỉ cần viết pt (SCD) là tính được ngay khoảng cách từ H đến SCD

\(\left(SCD\right):\sqrt{3}x+y+z-\sqrt{3}=0\)

\(d\left(H\text{/}\left(SCD\right)\right)=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{5}}\)

Chọn A

=> SB là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (SAB).

.

Xét tam giác SBC vuông tại B có

Xét tam giác SAB vuông tại A có: