Đáp án đúng : B

Đáp án D

Phương pháp: Đưa khoảng cách từ M đến (SAC) về khoảng cách từ H đến (SAC).

Cách giải: Gọi H là trung điểm của AB ta có SH ⊥ (ABCD)

Ta có (SC;(ABCD)) = (SC;HC) = Góc SCH =  45 0

=>∆SHC vuông cân tại H => 

Trong (ABD) kẻ HI ⊥ AC,trong (SHI) kẻ HK ⊥ SI ta có:

Ta có ∆AHI: ∆A CB(g.g) => 

Đáp án B

Dễ thấy: S C H ^ = 45 ∘  Gọi H là trung điểm của AB ta có  S H ⊥ A B ⇒ S H ⊥ A B C D .

Ta có: S H = H C = a 17 2 .  

Ta có:  d = d M , S A C = 1 2 d D , S A C

Mà 1 2 d D , S A C = 1 2 d B , S A C  nên  d = d H , S A C

Kẻ H I ⊥ A C , H K ⊥ S I ⇒ d H , S A C = H K  

Ta có: H I = A B . A D 2 A C = a 5 5  

Từ đó suy ra: d = H K = S H . H I S I = a 1513 89 .  

Chọn đáp án C

Đáp án D.

M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. 

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$.

Tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, trung điểm $H$ của $AB$ là $H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$, nên $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy đi qua $H$, giả sử $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Gọi $d(A,(SCD)) = a$ và góc giữa $(SCD)$ và đáy là $30^\circ$.

Khi đó chiều cao từ $A$ tới $(SCD)$ là: $d = h \sin 30^\circ = \dfrac{h}{2} = a \Rightarrow h = 2a$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z = \dfrac{1}{3} a^2 \cdot 2a = \dfrac{2 a^3}{3}$

Vậy: $V = \dfrac{2 a^3}{3}$

Chọn B.

B

Chọn: B

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$.

Vì tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, trung điểm $H$ của $AB$ là $H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$, nên $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Thể tích đã cho: $V = \dfrac{a^3 \sqrt{15}}{6}$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$

Thể tích: $V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z \Rightarrow \dfrac{a^2 \cdot h}{3} = \dfrac{a^3 \sqrt{15}}{6} \Rightarrow h = \dfrac{a \sqrt{15}}{2}$

Tọa độ $S\left(\dfrac{a}{2},0,\dfrac{a\sqrt{15}}{2}\right)$ và $C(a,a,0)$

Vector $\vec{SC} = (a - \dfrac{a}{2}, a - 0, 0 - \dfrac{a\sqrt{15}}{2}) = \left(\dfrac{a}{2}, a, -\dfrac{a\sqrt{15}}{2}\right)$

Vector pháp tuyến đáy: $\vec{n} = (0,0,1)$

Góc $\theta$ giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy:

$\cos \theta = \dfrac{|\vec{SC} \cdot \vec{n}|}{|\vec{SC}| \cdot |\vec{n}|} = \dfrac{\left| -\dfrac{a\sqrt{15}}{2} \right|}{\sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + a^2 + \left(\dfrac{a\sqrt{15}}{2}\right)^2}} = \dfrac{\dfrac{a\sqrt{15}}{2}}{\sqrt{\dfrac{a^2}{4} + a^2 + \dfrac{15 a^2}{4}}} = \dfrac{\dfrac{a\sqrt{15}}{2}}{\sqrt{ \dfrac{20 a^2}{4}}} = \dfrac{\dfrac{a\sqrt{15}}{2}}{\sqrt{5} a} = \dfrac{\sqrt{15}/2}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Vậy: $\theta = 30^\circ$

Chọn A.