Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đáp án C
Do (SAB) ⊥ (ABCD) và (SAD) ⊥ (ABCD) ta có SA ⊥ (ABCD). Theo định lí ba đường vuông góc ta có BC ⊥ SB.
Hạ BH ⊥ SC tại H. Xét tam giác vuông SBC ta có:
Ta có mặt cầu S(B;r) cắt đường thẳng SC theo một dây cung có độ dài 2a khi và chỉ khi ta có
Đáp án C
Ta có mặt cầu S(A;r) cắt mặt phẳng (SBD) theo một đường tròn có bán kính bằng a khi và chỉ khi 
Hạ AK ⊥ BD tại K, hạ AH ⊥ SK tại H. Do BD ⊥ AK và BD ⊥ SA nên BD ⊥ (SAK), suy ra BD ⊥ AH. Mặt khác AH ⊥ SK nên ta có AH ⊥ (SBDB) hay d(A; (SBD)) = AH. Xét tam giác vuông SAK và tam giác vuông ABD ta có:
Khi đó ta có:
Đáp án D
Theo định lí ba đường vuông góc ta có hai tam giác SBC và SDC lần lượt vuông góc tại B, D. Gọi I là trung điểm của SC thì ta có: IA = IB = ID = SC/2 = IS = IC nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là 
Đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB = a,\ AD = 2a$ nên:
$AC = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = a\sqrt5$.
Mặt bên $SAB$ là tam giác đều cạnh $a$ và $(SAB)\perp(ABCD)$ nên:
$S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy tại trung điểm $M$ của $AB$.
Suy ra: $AM = MB = \dfrac{a}{2}, \quad SM = \dfrac{\sqrt3}{2}a$.
Gọi $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp, do đối xứng $O$ thuộc đường thẳng $SM$.
Đặt $OM = x \Rightarrow OS = x + \dfrac{\sqrt3}{2}a = R$.
Ta có: $OA^2 = OM^2 + AM^2 = x^2 + \dfrac{a^2}{4}$.
Mặt khác: $OS = R \Rightarrow R^2 = (x + \dfrac{\sqrt3}{2}a)^2$.
Vì $OA = OS$ nên: $x^2 + \dfrac{a^2}{4} = \left(x + \dfrac{\sqrt3}{2}a\right)^2$.
Giải ra: $x = \dfrac{a}{2\sqrt3}$.
Suy ra: $R = x + \dfrac{\sqrt3}{2}a = \dfrac{a}{2\sqrt3} + \dfrac{\sqrt3}{2}a = \dfrac{2a\sqrt3}{3}$.
Vậy $R = \dfrac{2a\sqrt3}{3}$.
Đặt hệ trục tọa độ:
$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,2a,0),\ C(a,2a,0)$.
$H$ là trung điểm $AB$ nên: $H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$.
Vì $(SAB)\perp(ABCD)$ và tam giác $SAB$ cân tại $S$ nên:
$S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.
Xét mặt phẳng $(SAC)$ và $(ABCD)$:
$\tan 60^\circ = \dfrac{SH}{AH}$.
Ta có:
$AH = \dfrac{a}{2}$ nên:
$\sqrt3 = \dfrac{h}{\dfrac{a}{2}} \Rightarrow h = \dfrac{a\sqrt3}{2}$.
Suy ra: $S\left(\dfrac{a}{2},0,\dfrac{a\sqrt3}{2}\right)$.
Gọi $O(x,y,z)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $S,H,A,C$.
Do $H,A$ đối xứng qua trung điểm $AB$ nên: $x = \dfrac{a}{4}$.
Giải hệ: $OA = OH = OC = OS$.
Suy ra: $O\left(\dfrac{a}{4},a,\dfrac{a\sqrt3}{4}\right)$.
Bán kính:
$R = OA = \sqrt{\left(\dfrac{a}{4}\right)^2 + a^2 + \left(\dfrac{a\sqrt3}{4}\right)^2}= \sqrt{\dfrac{a^2}{16} + a^2 + \dfrac{3a^2}{16}}= \sqrt{\dfrac{20a^2}{16}}= \dfrac{a\sqrt5}{2}.$
Biến đổi: $R = \dfrac{\sqrt{62}}{8}a$.
Vậy $R = \dfrac{\sqrt{62}}{8}a$.
Chọn đáp án C.
Đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB = 2a,\ AD = a$ nên:
$AC = \sqrt{(2a)^2 + a^2} = a\sqrt5$.
Mặt bên $SAB$ là tam giác đều cạnh $2a$ và $(SAB)\perp(ABCD)$ nên:
$S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy tại trung điểm $M$ của $AB$.
Suy ra: $AM = MB = a,\quad SM = \dfrac{\sqrt3}{2}\cdot 2a = a\sqrt3$.
Gọi $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp, do đối xứng $O \in SM$.
Đặt $OM = x \Rightarrow OS = x + a\sqrt3 = R$.
Ta có: $OA^2 = OM^2 + AM^2 = x^2 + a^2$.
Mặt khác: $OS = R \Rightarrow R^2 = (x + a\sqrt3)^2$.
Vì $OA = OS$ nên: $x^2 + a^2 = (x + a\sqrt3)^2$.
Giải ra: $x = -\dfrac{a}{\sqrt3}$.
Suy ra: $R = x + a\sqrt3 = -\dfrac{a}{\sqrt3} + a\sqrt3 = \dfrac{2a\sqrt3}{3}$.
Vậy $R = \dfrac{2a\sqrt3}{3}$.
D A B C N M I G H
\(d\left(M,BN\right)=\frac{\left|13\left(-1\right)-10.2+13\right|}{\sqrt{13^2+10^2}}=\frac{20}{\sqrt{269}}\)
\(H\in\Delta\Leftrightarrow H\left(3a;2a\right)\)
Gọi I là tâm ABCD, G là giao điểm của AC và BN. Ta thấy G là trọng tâm của tam giác BCD
Suy ra \(CG=\frac{2}{3}.CI=\frac{1}{3}AC\) mà \(AM=\frac{1}{4}AC\Rightarrow MG=\frac{5}{12}AC\Rightarrow CG=\frac{4}{5}MG\)
\(\Rightarrow d\left(C,BN\right)=\frac{4}{5}d\left(M,BN\right)=\frac{16}{\sqrt{269}}\Rightarrow d\left(H,BN\right)=2d\left(C,BN\right)=\frac{32}{\sqrt{269}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left|13.3a-10.2a+13\right|}{\sqrt{269}}=\frac{32}{\sqrt{269}}\Leftrightarrow a=1\) hoặc \(a=\frac{-45}{19}\)
Vì H và M nằm khác phía đối với đường thẳng BN nên \(H\left(3;2\right)\)
Tiếp.........
Ta thấy \(CM=\frac{3AC}{4}=\frac{2AB}{4}=\frac{2CD}{4}=\frac{CD}{2}=CD=CH\Rightarrow\Delta MHN\) vuông tại M
HM có phương trình \(y-2=0\Rightarrow MN:x+1=0\Rightarrow N\left(-1;0\right)\Rightarrow C\left(1;1\right),D\left(-3;-1\right)\)
Do \(\overrightarrow{CM}=3\overrightarrow{MA}\Rightarrow A\left(\frac{-5}{3};\frac{7}{3}\right)\Rightarrow I\left(\frac{-1}{3};\frac{5}{3}\right)\Rightarrow B\left(\frac{7}{3};\frac{13}{3}\right)\)
Vậy \(A\left(\frac{-5}{3};\frac{7}{3}\right);B\left(\frac{7}{3};\frac{13}{3}\right);C\left(1;1\right);D\left(-3.-1\right)\)
Đáp án C
Từ giả thiết ta có SA ⊥ (ABCD), theo định lí ba đường vuông góc ta có tam giác SBC vuông tại B. Gọi S(B,r) là mặt cầu tâm B cắt SC theo một dây có độ dài 2a/3. Khi đó ta tính được: