Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$.

Tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, trung điểm $H$ của $AB$ là $H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$, nên $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy đi qua $H$, giả sử $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Góc giữa mặt phẳng $(SAD)$ và đáy bằng $45^\circ$:

Vector $\vec{SA} = \left(0 - \dfrac{a}{2}, 0 - 0, 0 - h\right) = \left(-\dfrac{a}{2}, 0, -h\right)$

Vector $\vec{AD} = (0 - 0, a - 0, 0 - 0) = (0,a,0)$

Vector pháp tuyến của $(SAD)$: $\vec{n} = \vec{SA} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -a/2 & 0 & -h \\ 0 & a & 0 \end{vmatrix} = (ah, 0, -a^2/2)$

Vector pháp tuyến đáy: $n_{ABCD} = (0,0,1)$

$\cos 45^\circ = \dfrac{| \vec{n} \cdot n_{ABCD} |}{|\vec{n}|} = \dfrac{|-a^2/2|}{\sqrt{(ah)^2 + 0^2 + (a^2/2)^2}} = \dfrac{a^2/2}{\sqrt{a^2 h^2 + a^4/4}} = \dfrac{1}{\sqrt{1 + 4 h^2 / a^2}}$

Theo đề: $\cos 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{1 + 4 h^2 / a^2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow 1 + 4 h^2 / a^2 = 2 \Rightarrow h^2 = a^2/4 \Rightarrow h = a/2$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z = \dfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot \dfrac{a}{2} = \dfrac{a^3}{6}$

Vậy: $V = \dfrac{a^3}{6}$

Chọn B.

Đáp án đúng : B

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$.

Tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, trung điểm $H$ của $AB$ là $H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$, nên $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy đi qua $H$, giả sử $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Góc giữa mặt phẳng $(SCD)$ và đáy bằng $60^\circ$, tức:

$\cos 60^\circ = \dfrac{|n_{SCD} \cdot n_{ABCD}|}{|n_{SCD}| \cdot |n_{ABCD}|} = \dfrac{1}{2}$

Vector pháp tuyến của đáy: $n_{ABCD} = (0,0,1)$

Vector pháp tuyến của $(SCD)$: $n_{SCD} = \vec{SC} \times \vec{SD}$

$\vec{SC} = \left(a - \dfrac{a}{2}, a - 0, 0 - h\right) = \left(\dfrac{a}{2}, a, -h\right)$

$\vec{SD} = \left(0 - \dfrac{a}{2}, a - 0, 0 - h\right) = \left(-\dfrac{a}{2}, a, -h\right)$

$\vec{SC} \times \vec{SD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \dfrac{a}{2} & a & -h \\ -\dfrac{a}{2} & a & -h \end{vmatrix} = (0, ah, a^2)$

$\cos \theta = \dfrac{|n_{SCD} \cdot n_{ABCD}|}{|n_{SCD}|} = \dfrac{|a^2|}{\sqrt{0^2 + (ah)^2 + (a^2)^2}} = \dfrac{a^2}{a\sqrt{h^2 + a^2}} = \dfrac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}}$

Theo đề: $\cos \theta = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \sqrt{h^2 + a^2} = 2a \Rightarrow h^2 = 3a^2 \Rightarrow h = a \sqrt{3}$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z = \dfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot a \sqrt{3} = \dfrac{a^3 \sqrt{3}}{3}$

Vậy: $V = \dfrac{a^3 \sqrt{3}}{3}$

Chọn C.

Đáp án D

Đáp án B

Đáp án B

A C = 2 S A = 2 tan 60 0 = 2 3 V = 1 3 .2 3 .1. 3 = 2

Đặt hệ tọa độ:
$A(0,0,0),\ B(1,0,0),\ D(0,3,0),\ C(1,3,0),\ S(0,0,h)$ với $SA \perp (ABCD)$.

Đường thẳng $SC$ có tọa độ $S(0,0,h)$, $C(1,3,0)$ nên vector $\vec{SC} = (1,3,-h)$.

Góc giữa $SC$ và mặt phẳng đáy là $60^\circ$, tức:
$ \cos 60^\circ = \frac{\text{phần chiếu của SC trên mặt phẳng đáy}}{\text{độ dài SC}} = \frac{\sqrt{1^2 + 3^2}}{\sqrt{1^2 + 3^2 + h^2}} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10 + h^2}}$

$\Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10 + h^2}}$

$\Rightarrow \sqrt{10 + h^2} = 2 \sqrt{10} \Rightarrow 10 + h^2 = 40 \Rightarrow h^2 = 30 \Rightarrow h = \sqrt{30}$.

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = AB \cdot AD = 1 \cdot 3 = 3$.

Thể tích khối chóp:
$V = \frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot \sqrt{30} = \sqrt{30}$.

Vậy thể tích $V = \sqrt{30}$, nhưng các đáp án cho sẵn là số nguyên. Có thể trong đề, người ra đề dùng $SC$ tạo với đáy 60° theo vector hạ xuống đáy theo trục z, tức $ \tan 60^\circ = \frac{h}{\text{chiều dài trên đáy}} = \frac{h}{\sqrt{AB^2 + AD^2}} = \frac{h}{\sqrt{1^2 + 3^2}} = \frac{h}{\sqrt{10}}$

$\Rightarrow \sqrt{3} = \frac{h}{\sqrt{10}} \Rightarrow h = \sqrt{30}$.

Thể tích: $V = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot \sqrt{30} = \sqrt{30}$.