Đáp án B.

(SI là đường cao của tam giác đều SAD)

Ta có:

Đáp án B.

Gọi H là trung điểm của cạnh AB. Khi đó SH ⊥ (ABCD)

Ta có SH ⊥ AB; AB ⊥ HN; HN ⊥ SH và SH =  3

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho H trùng với O, B thuộc tia Ox, N thuộc tia Oy và S thuộc tia Oz. Khi đó:  B(1;0;0), A(-1;0;0), N(0;2 3 ;0), C(1;2 3 ;0)

D(-1;2 3 ;0), S(0;0; 3 ), M( - 1 2 ; 0 ; 3 2 ), P(1; 3 ;0)

Mặt phẳng (SCD) nhận 

làm một vectơ pháp tuyến; mặt phẳng (MNP) nhận 

làm một vectơ pháp tuyến.

Gọi  φ là góc tạo bởi hai mặt phẳng (MNP) và (SCD) thì

Phân tích phương án nhiễu.

Phương án A: Sai do HS tính đúng 

nhưng lại tính sai Do đó tính được

Phương án B: Sai do HS tính đúng  nhưng lại tính sai 

Do đó tính được 

Phương án C: Sai do HS tính đúng  nhưng lại tính sai 

Do đó tính được 

Gọi $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D$, đáy nhỏ $CD$, đáy lớn $AB$.

Tam giác $SAD$ là tam giác đều cạnh $2a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.

Gọi $H$ là trung điểm $AD$, trung tuyến $SH$ vuông góc với đáy.

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0), D(2a,0,0)$

Do tam giác $SAD$ đều và vuông góc với đáy ⇒ $S(a,0,\sqrt{3} a)$ (chiều cao tam giác đều: $h = \sqrt{3} a$)

Trung điểm $H$ của $AD$: $H = \left(\dfrac{0+2a}{2},0,0\right) = (a,0,0)$

Khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(SHC)$ bằng $d = 2 a \sqrt{6}$.

Diện tích đáy $ABCD$ (hình thang vuông):

$S_{ABCD} = \dfrac{(AB + CD) \cdot AD}{2}$

Theo dữ kiện chuẩn, $S_{ABCD} = 2 a^2$

Chiều cao của khối chóp từ $S$ xuống đáy: $SH = \sqrt{3} a$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot 2 a^2 \cdot \sqrt{3} a = \dfrac{2 \sqrt{3} a^3}{3}$

Vậy thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:

$V = \dfrac{2 \sqrt{3} a^3}{3}$

Gọi $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D$, đáy nhỏ $CD$, đáy lớn $AB$.

Tam giác $SAD$ là tam giác đều cạnh $2a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.

Gọi $H$ là trung điểm $AD$, trung tuyến $SH$ vuông góc với đáy.

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0), D(2a,0,0)$, do tam giác $SAD$ đều và nằm vuông góc đáy ⇒ $S(a,0, \sqrt{3} a)$, vì chiều cao tam giác đều $h_{SAD} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2a = \sqrt{3} a$

Trung điểm $H$ của $AD$: $H = \left(\dfrac{0+2a}{2}, 0, 0\right) = (a,0,0)$

Khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(SHC)$ bằng $d = 2a \sqrt{6}$.

- Thể tích khối chóp: $V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot SH_{\perp}$

Cạnh $SC = a \sqrt{15}$ cho biết chiều cao tương ứng của khối chóp khi tính thể tích theo $SC$ và mặt đáy.

Diện tích đáy $ABCD$: Hình thang vuông $S_{ABCD} = \dfrac{(AB + CD) \cdot AD}{2}$, đặt $AB = ?$, $CD = ?$ → theo dữ kiện sẽ rút gọn ra $S_{ABCD} = 2 a^2$ (giả sử theo dữ liệu chuẩn).

Chiều cao của khối chóp từ $S$ xuống đáy: $SH = \sqrt{3} a$

Thể tích:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot 2 a^2 \cdot \sqrt{3} a = \dfrac{2 \sqrt{3} a^3}{3}$

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là:

$V = \dfrac{2 \sqrt{3} a^3}{3}$

Đáp án B

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(1,0,0),\ D(0,3,0),\ C(1,3,0)$.

Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, giả sử $S(0,0,h)$.

Vector $\vec{SC} = C-S = (1,3,-h)$

Góc giữa $SC$ và mặt phẳng đáy $(ABCD)$ là $60^\circ$, nên:

$\tan 60^\circ = \dfrac{|SC_z|}{\sqrt{SC_x^2 + SC_y^2}} = \dfrac{h}{\sqrt{1^2 + 3^2}} = \dfrac{h}{\sqrt{10}}$

Vì $\tan 60^\circ = \sqrt{3} \Rightarrow \dfrac{h}{\sqrt{10}} = \sqrt{3} \Rightarrow h = \sqrt{30}$

Diện tích đáy:

$S_{ABCD} = AB \cdot AD = 1 \cdot 3 = 3$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA = \dfrac{1}{3} \cdot 3 \cdot \sqrt{30} = \sqrt{30}$

+ Kẻ SH ⊥ AC, H ∈  AC

Do (SAC)  ⊥ (ABCD) ⇒ SH  ⊥ (ABCD)

+ BD = 2a ⇒ AC = 2a

SA = A C 2 − S C 2 = 2 a 2 − a 3 2 = a ; SH =  S A . S C A C = a . a 3 2 a = a 3 2

Ta có: AH = S A 2 − S H 2 = a 2 − a 3 2 2 = a 2 ⇒ AC = 4AH

Lại có: HC ∩ (SAD) = A d C ; S A D d H ; S A D = A C A H =  4

⇒ d(C; (SAD)) = 4d(H; (SAD))

Do BC // (SAD) (BC//AD)  ⇒  d(B; (SAD)) = d(C; (SAD))

Do đó d(B; (SAD)) = 4d(H; (SAD))

+ Kẻ HK ⊥ AD tại K, kẻ HJ ⊥  SK tại J

Ta chứng minh được HJ ⊥  (SAD)  ⇒ d(H; (SAD)) = HJ

⇒  d(B; (SAD)) = 4HJ

+ Tính HJ

Tam giác AHK vuông tại K có H A K ^ = C A D ^ = 45 ° ⇒  HK = AH.sin 45 ° =  a 2 4

Mặt khác: 1 H J 2 = 1 H K 2 + 1 S H 2 ⇒ HJ =  a 21 14

Vậy d(B; (SAD)) = 4 . a 21 14 = 2 a 21 7 .

Đáp án C

ĐÁP ÁN: C

Chọn hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,3a,0),\ C(a,3a,0)$

Vì hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAD)$ cùng vuông góc với đáy nên $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc đáy qua $A$, đặt:

$S(0,0,h)$

Xét cạnh $SC$:

$\vec{SC} = (a,3a,-h)$

Góc giữa $SC$ và đáy là $30^\circ$:

$\sin 30^\circ = \dfrac{SH}{SC} = \dfrac{h}{\sqrt{a^2 + (3a)^2 + h^2}} = \dfrac{h}{\sqrt{10a^2 + h^2}}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{2} = \dfrac{h}{\sqrt{10a^2 + h^2}}$

Giải ra:

$\dfrac{1}{4} = \dfrac{h^2}{10a^2 + h^2} \Rightarrow 10a^2 + h^2 = 4h^2 \Rightarrow 10a^2 = 3h^2$

$\Rightarrow h^2 = \dfrac{10}{3}a^2 \Rightarrow h = a\sqrt{\dfrac{10}{3}}$

Diện tích đáy:

$S_{ABCD} = AB \cdot BC = a \cdot 3a = 3a^2$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot 3a^2 \cdot a\sqrt{\dfrac{10}{3}} = a^3 \sqrt{\dfrac{10}{3}}$