Đáp án A

Góc giữa mặt phẳng và đường thẳng là góc tạo bởi đường thẳng đó với hình chiếu của nó lên mặt phẳng. Ở đây S A ⊥ A B C D ⇒ góc S C A = α là góc giữa Sc và (ABCD)

Ta có: 

Tan α = S A A C = S A A B 2 + A D 2 = 3 a a 2 + 2 a 2 = 3

⇒ α = 60 0

Chọn đáp án D.

Đặt hệ tọa độ:
$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,2a,0),\ C(a,2a,0),\ S(0,0,h)$ với $SA \perp (ABCD)$.

Độ dài $SD = \sqrt{AD^2 + h^2} = \sqrt{(2a)^2 + h^2} = \sqrt{4a^2 + h^2}$.

Góc giữa $SD$ và mặt phẳng đáy là $60^\circ$, nên:
$ \cos 60^\circ = \frac{\text{chiều cao vuông góc}}{\text{độ dài SD}} = \frac{h}{\sqrt{4a^2 + h^2}}$

$\Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{h}{\sqrt{4a^2 + h^2}}$

$\Rightarrow \sqrt{4a^2 + h^2} = 2h$

$\Rightarrow 4a^2 + h^2 = 4h^2 \Rightarrow 3h^2 = 4a^2 \Rightarrow h = \frac{2a}{\sqrt{3}}$.

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = AB \cdot AD = a \cdot 2a = 2a^2$.

Thể tích khối chóp:
$V = \frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 2a^2 \cdot \frac{2a}{\sqrt{3}} = \frac{4a^3}{3\sqrt{3}} = \frac{4a^3 \sqrt{3}}{9}$.

Đáp ván A

Vì I là hình chiếu của S trên (ABCD)

⇒ ( S C → , ( A B C D ) ) = S C I ⏞

⇒ S I = I C . tan 60 ° = a 5 2 . tan 60 ° = a 15 2

Vậy  

V S . I B C = V S . A B C D - V S . A I B - V S . I C D = 1 3 . a 15 2 a + 2 a 2 . a - 1 2 . a 2 . 2 a - 1 2 . a 2 . a = a 3 15 8

Đặt hệ trục tọa độ: Chọn $A(0,0,0),\ D(a,0,0),\ B(2a,0,0),\ C(a, a,0)$.

Trung điểm $I$ của $AD$: $I\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$.

Hình chiếu của $S$ lên đáy là $I$ ⇒ $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Góc giữa $SC$ và đáy là $60^\circ$:

$\vec{SC} = \left(a - \dfrac{a}{2}, a - 0, -h\right) = \left(\dfrac{a}{2}, a, -h\right)$

Chiều cao $h$ được xác định từ:

$\sin 60^\circ = \dfrac{SI}{SC} = \dfrac{h}{\sqrt{(\frac{a}{2})^2 + a^2 + h^2}}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{h}{\sqrt{\frac{5a^2}{4} + h^2}}$

Giải ra:

$\dfrac{3}{4} = \dfrac{h^2}{\frac{5a^2}{4} + h^2} \Rightarrow 3\left(\frac{5a^2}{4} + h^2\right) = 4 h^2$

$ \Rightarrow \dfrac{15a^2}{4} + 3h^2 = 4 h^2 \Rightarrow h^2 = \dfrac{15a^2}{4} \Rightarrow h = \dfrac{a\sqrt{15}}{2}$

Thể tích khối chóp $S.IBC$:

$V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{\triangle IBC} \cdot SI$

Tính diện tích $\triangle IBC$:

$\vec{IB} = (2a - \frac{a}{2}, 0 - 0, 0) = \left(\frac{3a}{2},0,0\right)$

$\vec{IC} = (a - \frac{a}{2}, a - 0, 0) = \left(\frac{a}{2},a,0\right)$

$S_{\triangle IBC} = \dfrac{1}{2} |\vec{IB} \times \vec{IC}|$

$\vec{IB} \times \vec{IC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ \frac{3a}{2} & 0 & 0 \ \frac{a}{2} & a & 0 \end{vmatrix} = (0,0, \frac{3a^2}{2})$

$S_{\triangle IBC} = \dfrac{1}{2} \cdot \frac{3a^2}{2} = \dfrac{3a^2}{4}$

Chiều cao: $SI = h = \dfrac{a\sqrt{15}}{2}$

$V = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3a^2}{4} \cdot \dfrac{a\sqrt{15}}{2} = \dfrac{a^3 \sqrt{15}}{8}$

Chọn đáp án B.

Đáp án C

Phương pháp: Thể tích khối chóp V = 1 3 S d . h : h là chiều cao của khối chóp, S là diện tích đáy.

Phương pháp xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng chính là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.

Đáp án D

Dựng 

Dựng 

Khi đó Cx cắt AB tại E và AK tại I suy ra BI là đường trung bình của ∆AEK ( Do BD qua trung điểm O của AC)

Ta có: 

Do 

Chọn A

Xác định được 

Vì M là trung điểm SA nên

Kẻ  và chứng minh được  nên 

Trong ∆  vuông MAD tính được 

Chọn A.

Đáp án A

Ta có B C ⊥ A B B C ⊥ S A ⇒ B C ⊥ S A B  

Ta có S C ∩ S A B = S ; B C ⊥ S A B  

⇒ S C ; S A B ^ = S C , S B ^ = B S C ^  

Ta có S B = S A 2 + A B 2 = a 3  

Ta có tan B S C ^ = B C S B = a a 3 = 1 3 ⇒ B S C ^ = 30 ° .