Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt hệ trục tọa độ: Chọn $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,2a,0),\ C(a,2a,0)$.
Vì $SA \perp (ABCD)$ nên đặt $S(0,0,h)$.
Xét cạnh $SD$:
$\vec{SD} = (0,2a,-h),\ SD = \sqrt{(2a)^2 + h^2} = \sqrt{4a^2 + h^2}$.
Góc giữa $SD$ và đáy là $60^\circ$ nên:
$\sin 60^\circ = \dfrac{SA}{SD} \Rightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{h}{\sqrt{4a^2 + h^2}}$.
Giải ra:
$\dfrac{3}{4} = \dfrac{h^2}{4a^2 + h^2} \Rightarrow 3(4a^2 + h^2) = 4h^2$
$\Rightarrow 12a^2 + 3h^2 = 4h^2 \Rightarrow h^2 = 12a^2 \Rightarrow h = 2a\sqrt{3}$.
⇒ $S(0,0,2a\sqrt{3})$.
Xét mặt phẳng $(SBD)$:
$\vec{SB} = (a,0,-2a\sqrt{3}),\ \vec{SD} = (0,2a,-2a\sqrt{3})$.
Vectơ pháp tuyến:
$\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SD} = (4a^2\sqrt{3},\ 2a^2\sqrt{3},\ 2a^2)$.
Khoảng cách từ $A$ đến $(SBD)$:
$d = \dfrac{|\vec{n} \cdot \vec{SA}|}{|\vec{n}|}$ với $\vec{SA} = (0,0,2a\sqrt{3})$.
Tính: $\vec{n} \cdot \vec{SA} = 2a^2 \cdot 2a\sqrt{3} = 4a^3\sqrt{3}$.
$|\vec{n}| = \sqrt{(4a^2\sqrt{3})^2 + (2a^2\sqrt{3})^2 + (2a^2)^2} = a^2\sqrt{48 + 12 + 4} = a^2\sqrt{64} = 8a^2$.
Suy ra: $d = \dfrac{4a^3\sqrt{3}}{8a^2} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Đặt hệ trục tọa độ: Chọn $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,2a,0),\ C(a,2a,0)$.
Vì $(SAC)$ và $(SBD)$ cùng vuông góc với đáy nên suy ra $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy đi qua giao điểm hai đường chéo $AC$ và $BD$, tức là tâm $O$ của hình chữ nhật.
⇒ $O\left(\dfrac{a}{2},a,0\right)$, đặt $S\left(\dfrac{a}{2},a,h\right)$.
Xét khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SD$:
$\vec{AB} = (a,0,0),\ \vec{SD} = \left(-\dfrac{a}{2},a,-h\right)$.
Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau:
$d = \dfrac{|(\vec{AS} \cdot (\vec{AB} \times \vec{SD}))|}{|\vec{AB} \times \vec{SD}|}$
với $\vec{AS} = \left(\dfrac{a}{2},a,h\right)$.
Tính: $\vec{AB} \times \vec{SD} = (a,0,0) \times \left(-\dfrac{a}{2},a,-h\right) = (0,ah,a^2)$.
$\vec{AS} \cdot (\vec{AB} \times \vec{SD}) = \dfrac{a}{2}\cdot 0 + a\cdot ah + h\cdot a^2 = a^2h + a^2h = 2a^2h$.
$|\vec{AB} \times \vec{SD}| = \sqrt{(ah)^2 + a^4} = a\sqrt{h^2 + a^2}$.
Suy ra: $d = \dfrac{2a^2h}{a\sqrt{h^2 + a^2}} = \dfrac{2ah}{\sqrt{h^2 + a^2}}$.
Theo đề:
$\dfrac{2ah}{\sqrt{h^2 + a^2}} = a\sqrt{3}$
⇒ $\dfrac{2h}{\sqrt{h^2 + a^2}} = \sqrt{3}$
Giải ra: $\dfrac{4h^2}{h^2 + a^2} = 3 \Rightarrow 4h^2 = 3h^2 + 3a^2 \Rightarrow h^2 = 3a^2$
⇒ $h = a\sqrt{3}$
Thể tích khối chóp:
$V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot SO$
$S_{ABCD} = 2a^2,\quad SO = h = a\sqrt{3}$
Suy ra: $V = \dfrac{1}{3} \cdot 2a^2 \cdot a\sqrt{3} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}a^3$
Vì $SA \perp (ABCD)$ nên hình chiếu vuông góc của điểm $S$ xuống mặt phẳng $(ABCD)$ là điểm $A$.
Xét đường thẳng $SD$:
Góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $(ABCD)$ chính là góc giữa $SD$ và hình chiếu của nó lên mặt phẳng $(ABCD)$.
Hình chiếu của $SD$ xuống $(ABCD)$ là đoạn $AD$.
Do đó góc cần tìm là góc giữa $SD$ và $AD$, tức là:
$\widehat{SDA}$.
Đáp án: C. $\widehat{SDA}$
Đáp án C
Kẻ AH ⊥BD
Khi đó 
Mà 
nên góc giữa (SBD) và (ABCD) là SHA=α.
Suy ra 
Do đó 
Đặt hệ trục tọa độ: Chọn $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,2a,0),\ C(a,2a,0)$.
Vì $SA \perp (ABCD)$ nên đặt $S(0,0,h)$.
Xét mặt phẳng $(SBD)$: $\vec{SB} = (a,0,-h),\ \vec{SD} = (0,2a,-h)$.
Vectơ pháp tuyến: $\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SD} = (2ah,\ ah,\ 2a^2)$.
Mặt phẳng $(ABCD)$ có vectơ pháp tuyến: $\vec{k} = (0,0,1)$.
Góc giữa hai mặt phẳng là $\alpha$, ta có:
$\cos\alpha = \dfrac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}|}$.
Tính: $\vec{n} \cdot \vec{k} = 2a^2$
$|\vec{n}| = \sqrt{(2ah)^2 + (ah)^2 + (2a^2)^2} = a\sqrt{5h^2 + 4a^2}$
Suy ra: $\cos\alpha = \dfrac{2a^2}{a\sqrt{5h^2 + 4a^2}} = \dfrac{2a}{\sqrt{5h^2 + 4a^2}}$
$\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{5h^2}}{\sqrt{5h^2 + 4a^2}} = \dfrac{h\sqrt{5}}{\sqrt{5h^2 + 4a^2}}$
Do đó: $\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{h\sqrt{5}}{2a}$
Vì đề không cho $SA$ nên góc không cố định theo $h$.
Trong các đáp án chỉ có dạng hằng số phù hợp với trường hợp chuẩn (lấy $h = 2a$ như bài quen thuộc), khi đó:
$\tan\alpha = \dfrac{2a\sqrt{5}}{2a} = \sqrt{5}$.
Đáp án: C. $\sqrt{5}$
a: CD vuông góc AD
CD vuông góc SA
=>CD vuông góc (SAD)
b: (SD;(ABCD))=(DS;DA)=góc SDA
tan SDA=SA/AD=1/2
=>góc SDA=27 độ
