Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a, góc BAD=120. Mặt bên (SAB) có SA=a, SB= a\(\sqrt{3}\) và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi G là trọng tâm tam giác SCD. Tính thể tích hình chóp SABCD và khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SAB). 
S o B H A D G d H' C K
Câu a bạn tự tính nhé!
Câu b: Qua G kẻ đường thẳng d // CD , khoảng cách từ \(d\left(G;\left(SAB\right)\right)=d\left(d;\left(SAD\right)\right)\)
Kẻ HH' vuông CD , nối SH'. Lúc này SH' cách d tại K . \(d\left(K;\left(SAB\right)\right)\) là khoảng cách cần tìm.
Ta có: SH'AB =\(\frac{1}{2}S_{ABCD}\)=\(\frac{1}{2}\times2\sqrt{3}a^2=\sqrt{3}a^2\) \(\Rightarrow HH'=\frac{\sqrt{3}a^2}{a}=\sqrt{3}a\)
Vì K nằm trên d nên \(d\left(K;\left(SAB\right)\right)=\frac{2}{3}HH'=\frac{2\sqrt{3}a}{3}\)
Đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB = 2a,\ AD = a$ nên:
$AC = \sqrt{(2a)^2 + a^2} = a\sqrt5$.
Mặt bên $SAB$ là tam giác đều cạnh $2a$ và $(SAB)\perp(ABCD)$ nên:
$S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy tại trung điểm $M$ của $AB$.
Suy ra: $AM = MB = a,\quad SM = \dfrac{\sqrt3}{2}\cdot 2a = a\sqrt3$.
Gọi $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp, do đối xứng $O \in SM$.
Đặt $OM = x \Rightarrow OS = x + a\sqrt3 = R$.
Ta có: $OA^2 = OM^2 + AM^2 = x^2 + a^2$.
Mặt khác: $OS = R \Rightarrow R^2 = (x + a\sqrt3)^2$.
Vì $OA = OS$ nên: $x^2 + a^2 = (x + a\sqrt3)^2$.
Giải ra: $x = -\dfrac{a}{\sqrt3}$.
Suy ra: $R = x + a\sqrt3 = -\dfrac{a}{\sqrt3} + a\sqrt3 = \dfrac{2a\sqrt3}{3}$.
Vậy $R = \dfrac{2a\sqrt3}{3}$.
Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,2a,0),\ C(a,2a,0)$.
Tam giác $SAB$ đều cạnh $a$ và $(SAB)\perp(ABCD)$ nên:
$S\left(\dfrac{a}{2},0,\dfrac{a\sqrt3}{2}\right)$.
Trung điểm: $M\left(0,a,0\right),\quad N\left(\dfrac{a}{2},2a,0\right)$.
Gọi $O(x,y,z)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $S.DMN$.
Do $D,M,N$ cùng thuộc mặt phẳng đáy nên $O$ có dạng:
$O(x,y,z)$ với $z$ đối xứng.
Tính các khoảng cách bằng nhau:
$OD^2 = OM^2 = ON^2 = OS^2$.
Giải hệ thu được: $O\left(\dfrac{a}{2},a,\dfrac{a\sqrt3}{6}\right)$.
Suy ra bán kính:
$R = OS = \sqrt{\left(\dfrac{a}{2}-\dfrac{a}{2}\right)^2 + (0-a)^2 + \left(\dfrac{a\sqrt3}{2}-\dfrac{a\sqrt3}{6}\right)^2}= \sqrt{a^2 + \left(\dfrac{a\sqrt3}{3}\right)^2}= \sqrt{a^2 + \dfrac{a^2}{3}}= \dfrac{2a}{\sqrt3}$.
Vậy $R = \dfrac{2a}{\sqrt3} = \dfrac{2a\sqrt3}{3}$.
Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,2a,0),\ C(a,2a,0)$.
Tam giác $SAB$ đều cạnh $a$ và $(SAB)\perp(ABCD)$ nên:
$S\left(\dfrac{a}{2},0,\dfrac{a\sqrt3}{2}\right)$.
Trung điểm: $M\left(0,a,0\right),\quad N\left(\dfrac{a}{2},2a,0\right)$.
Gọi $O(x,y,z)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $S.DMN$.
Do $D,M,N$ cùng thuộc mặt phẳng đáy nên $O$ có dạng: $O(x,y,z)$.
Ta có: $OD^2 = OM^2 = ON^2 = OS^2$.
Giải hệ:
$\begin{cases}OD^2 = OM^2 \\OM^2 = ON^2 \\OD^2 = OS^2\end{cases}\Rightarrow O\left(\dfrac{a}{2},a,\dfrac{a\sqrt3}{6}\right).$
Suy ra bán kính:
$R = OS= \sqrt{\left(\dfrac{a}{2}-\dfrac{a}{2}\right)^2 + (0-a)^2 + \left(\dfrac{a\sqrt3}{2}-\dfrac{a\sqrt3}{6}\right)^2}= \sqrt{a^2 + \left(\dfrac{a\sqrt3}{3}\right)^2}= \sqrt{a^2 + \dfrac{a^2}{3}}= \dfrac{2a}{\sqrt3}= \dfrac{2a\sqrt3}{3}$.
Vậy $R = \dfrac{2a\sqrt3}{3}$.
S A B C D M O N H 45 ❤sin45=\(\dfrac{SO}{SM}\) => SO=sin45 . SM= \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) = \(\dfrac{a\sqrt{6}}{4}\)
OM= \(\sqrt{SM^2-SO^2}\) = \(\dfrac{a\sqrt{6}}{4}\)
BC = 2OM => BC=\(\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\)
V = \(\dfrac{1}{3}.AB.BC.SO=\dfrac{1}{3}.a.\dfrac{a\sqrt{6}}{2}.\dfrac{a\sqrt{6}}{4}=\dfrac{a^3}{4}\)
❤ta có: SM⊂ (SAB) (1)
mà: \(\left\{{}\begin{matrix}NC//AB\\AB\subset\left(SAB\right)\end{matrix}\right.\) => NC// (SAB) (2)
từ (1) và (2) => SM//NC
\(d_{\left(SM,NC\right)}=d_{\left(NC,\left(SAB\right)\right)}=d_{\left(N,\left(SAB\right)\right)}=2d_{\left(O,\left(SAB\right)\right)}\)
+kẻ OH⊥SM
+ Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}AB\perp OM\\AB\perp SO\end{matrix}\right.\) => AB ⊥ (SOM) \(\supset OH\)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}OH\perp AB\\OH\perp SM\end{matrix}\right.\) => OH⊥(SAB)
➜d(O,(SAB)) =OH
OH=\(\dfrac{OM.SO}{\sqrt{OM^2+SO^2}}\)\(\dfrac{a\sqrt{3}}{4}\)
➜d(N,(SAB)) =d(SM,NC)= \(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)
Đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB = a,\ AD = 2a$ nên:
$AC = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = a\sqrt5$.
Mặt bên $SAB$ là tam giác đều cạnh $a$ và $(SAB)\perp(ABCD)$ nên:
$S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy tại trung điểm $M$ của $AB$.
Suy ra: $AM = MB = \dfrac{a}{2}, \quad SM = \dfrac{\sqrt3}{2}a$.
Gọi $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp, do đối xứng $O$ thuộc đường thẳng $SM$.
Đặt $OM = x \Rightarrow OS = x + \dfrac{\sqrt3}{2}a = R$.
Ta có: $OA^2 = OM^2 + AM^2 = x^2 + \dfrac{a^2}{4}$.
Mặt khác: $OS = R \Rightarrow R^2 = (x + \dfrac{\sqrt3}{2}a)^2$.
Vì $OA = OS$ nên: $x^2 + \dfrac{a^2}{4} = \left(x + \dfrac{\sqrt3}{2}a\right)^2$.
Giải ra: $x = \dfrac{a}{2\sqrt3}$.
Suy ra: $R = x + \dfrac{\sqrt3}{2}a = \dfrac{a}{2\sqrt3} + \dfrac{\sqrt3}{2}a = \dfrac{2a\sqrt3}{3}$.
Vậy $R = \dfrac{2a\sqrt3}{3}$.