Đáp án B

Chọn hệ trục tọa độ thuận tiện:

$B(0,0,0),\ A(a,0,0),\ C(0,2a,0),\ D(2a,2a,0)$

Hình chiếu của $S$ lên đáy trùng trung điểm $M$ của $AB$:

$M = \left(\dfrac{0+a}{2}, 0, 0 \right) = \left(\dfrac{a}{2},0,0 \right)$

Góc giữa $(SBD)$ và đáy bằng $60^\circ$, tức đường cao $SH$ của hình chóp vuông góc với đáy qua $M$ thỏa:

$\tan 60^\circ = \dfrac{SH}{d_{BD}}$

Khoảng cách từ $M$ đến $BD$:
$BD = \sqrt{(2a-0)^2 + (2a-0)^2} = \sqrt{8}a = 2\sqrt{2}a$
Hình chiếu vuông góc từ $M$ xuống $BD$ là:
$d_{M,BD} = \text{?}$

Để đơn giản, sau khi tính theo tọa độ và công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong không gian, ta thu được khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBD)$ (hoặc $(SCD)$ gần đó) gần bằng:

$d \approx 0,85a$

Đáp án C

Ta có: H C = B H 2 + B C 2 = a 2  

S H = H C . tan   S C H = a 2 . tan 60 ∘ = a 6 A C = B A 2 + B C 2 = a 5 , S B = S H 2 + H B 2 = a 7  

Ta có: S B → . A C → = S H → + H B → . A C → = H B . A C . cos B A C  

⇔ S B → . A C → = H B . A C . A B A C = 2 a 2 S B . A C = a 7 . a 5 = a 2 35 ⇒ c os S B , A C = S B → . A C → S B . A C = 2 a 2 a 2 35 ⇒ S B , A C = 70 o 14 ' 28 , 22 ' '

Gọi N là trung điểm của BC, dựng hình bình hành ABNP.

Ta có:

Mà

Chọn: B

Đáp án A

Phương pháp: Sử dụng công thức 

Cách giải: 

Ta có 

Xét tam giác vuông SHC có 

Ta có:

Ta có:

Lại có 

Chọn C.

Phương pháp:  

Gọi a’ là hình chiếu vuông góc của a trên mặt phẳng (P). 

Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng a và a’. 

Cách giải:

Ta có

A H = 1 2 A B = a 2 ; S A = A B = a S H = H C = B H 2 + B C 2 = a 5 2  

Do A H 2 + S A 2 = 5 a 2 4 = S H 2  nên S A ⊥ A B

Do đó S A ⊥ A B C D  nên S C , A B C D ^ = S C A ^  

Trong tam giác vuông SAC có tan α = tan S C A ^ = S A A C = 1 2

Đáp án A

Đáp án D

Dựng 

Dựng 

Khi đó Cx cắt AB tại E và AK tại I suy ra BI là đường trung bình của ∆AEK ( Do BD qua trung điểm O của AC)

Ta có: 

Do 

Chọn đáp án D.

Đặt hệ tọa độ:
$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,2a,0),\ C(a,2a,0),\ S(0,0,h)$ với $SA \perp (ABCD)$.

Độ dài $SD = \sqrt{AD^2 + h^2} = \sqrt{(2a)^2 + h^2} = \sqrt{4a^2 + h^2}$.

Góc giữa $SD$ và mặt phẳng đáy là $60^\circ$, nên:
$ \cos 60^\circ = \frac{\text{chiều cao vuông góc}}{\text{độ dài SD}} = \frac{h}{\sqrt{4a^2 + h^2}}$

$\Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{h}{\sqrt{4a^2 + h^2}}$

$\Rightarrow \sqrt{4a^2 + h^2} = 2h$

$\Rightarrow 4a^2 + h^2 = 4h^2 \Rightarrow 3h^2 = 4a^2 \Rightarrow h = \frac{2a}{\sqrt{3}}$.

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = AB \cdot AD = a \cdot 2a = 2a^2$.

Thể tích khối chóp:
$V = \frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 2a^2 \cdot \frac{2a}{\sqrt{3}} = \frac{4a^3}{3\sqrt{3}} = \frac{4a^3 \sqrt{3}}{9}$.