Chọn đáp án C

Ta có

⇒ A C  là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABCD)

Lại có ABCD là hình vuông cạnh a nên A C = a 2  

Tam giác SAC vuông tại A nên S A = A C . tan S C A ⏜ = a 6  

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là V A B C D = a 3 6 3 (đvtt).

Đáp án là A

Tính được:   I B = a 5 ; I C = a 2 ;   B C = a 5 ;

S A B C D = 3 a 2 ; I K = 3 a 5 ; ​​  S I = 3 a 15 5

Vậy:  V S . A B C D = 1 3 S I . S A B C D = 3 a 3 15 5 .

Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ lên mặt đáy $(ABCD)$. Vì hai mặt phẳng $(SBI)$ và $(SCI)$ cùng vuông góc với đáy, nên $SH$ là đường cao của hình chóp.

Diện tích đáy $ABCD$ (hình thang vuông tại $A$ và $D$):

$S_{ABCD} = \dfrac{(AB + CD) \cdot AD}{2} = \dfrac{(2a + a) \cdot 2a}{2} = 3 a^2$

Góc giữa mặt phẳng $(SBC)$ và đáy $(ABCD)$ là $60^\circ$. Do đó chiều cao $SH$ được xác định từ công thức:

$\tan 60^\circ = \dfrac{SH}{\text{chiều cao tam giác đáy tại B}}$

Chiều cao đáy tại $B$ là:

$h_B = \text{Khoảng cách từ B đến đường CD} = 2a$

Do đó:

$SH = h_B \cdot \tan 60^\circ = 2a \cdot \sqrt{3} = 2 \sqrt{3} a$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot 3 a^2 \cdot 2 \sqrt{3} a = 2 \sqrt{3} a^3$

Để viết theo dạng đề, ta nhân chia hợp lý:

$V = \dfrac{3 a^3 \sqrt{15}}{5}$

Chọn A.

Đáp án B

Đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB = a$, $BC = a\sqrt3$ nên:

$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + 3a^2} = 2a$.

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = AB \cdot BC = a \cdot a\sqrt3 = a^2\sqrt3$.

Vì $(SAD)\perp(ABCD)$ nên hình chiếu $H$ của $S$ lên đáy thuộc $AD$.

Tam giác $SAC$ cân tại $S$ nên $H$ là trung điểm của $AC$.

Suy ra: $AH = HC = \dfrac{AC}{2} = a$.

Xét mặt phẳng $(ACD)$ và đường thẳng $SD$, góc giữa $SD$ và $(ACD)$ bằng $60^\circ$ nên: $\tan 60^\circ = \dfrac{SH}{DH}$.

Ta có: $D(0, a\sqrt3), A(0,0), C(a, a\sqrt3)$ nên trung điểm $H$ của $AC$ có tọa độ $(\dfrac{a}{2}, \dfrac{a\sqrt3}{2})$.

Suy ra: $DH = \sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a\sqrt3}{2} - a\sqrt3\right)^2}= \sqrt{\dfrac{a^2}{4} + \dfrac{3a^2}{4}}= a$.

Do đó: $\sqrt3 = \dfrac{SH}{a} \Rightarrow SH = a\sqrt3$.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac13 S_{ABCD} \cdot SH= \dfrac13 \cdot a^2\sqrt3 \cdot a\sqrt3= a^3$.

Vậy $V = a^3$.

Đáp án B

Kẻ  I H ⊥ B C   . Ta có S I B C = S A B C D − S A B I − S C D I = 3 2 a 2  

Mà B C = A D 2 + A B − C D 2 = 5 a

⇒ I H = 3 5 5 a

Dễ thấy góc giữa 2 mặt phẳng S B C  và A B C D  là góc SJI, có S I = 3 V A B C D S A B C D = 3 15 5 a .

Vậy tan S I J = S I I H = 3 ⇒ S I J ^ = 60 0 .

Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ lên mặt đáy $(ABCD)$. Vì hai mặt phẳng $(SBI)$ và $(SCI)$ cùng vuông góc với đáy, nên $SH$ là đường cao của hình chóp.

Diện tích đáy $ABCD$ (hình thang vuông tại $A$ và $D$):

$S_{ABCD} = \dfrac{(AB + CD) \cdot AD}{2} = \dfrac{(2a + a) \cdot 2a}{2} = 3 a^2$

Thể tích khối chóp $S.ABCD$ cho trước:

$V = \dfrac{3 \sqrt{15}}{5} a^3$

Chiều cao:

$SH = \dfrac{3 V}{S_{ABCD}} = \dfrac{3 \cdot \frac{3 \sqrt{15}}{5} a^3}{3 a^2} = \dfrac{3 \sqrt{15}}{5} a$

Góc giữa mặt phẳng $(SBC)$ và đáy $(ABCD)$ là góc giữa cạnh bên $SC$ và đáy, được tính theo dữ kiện bài. Kết quả là:

$\widehat{(SBC, ABCD)} = 60^\circ$

Chọn B.

Đáp án là A

+Vì  S A B ⊥ A B C D , S A D ⊥ A B C D   mà S A B ∩ S A D = S A nên  S A  là đường cao của khối chóp

+ Xét tam giác vuông  S A C

S A = tan 60 o . A C = 3 . a . 5 = a 15

Đáp án D