a: BC vuông góc AM

BC vuông góc SA

=>BC vuông góc (SAM)

b: BC vuông góc (SAM)

=>BC vuông góc SM

=>(SM;(ABC))=90 độ

Ta có:
$\triangle ABC$ vuông cân tại $A$ nên:
$AB = AC = a,\ AB \perp AC$.

Lại có:
$SA \perp (ABC)$ nên:
$SA \perp AB,\ SA \perp AC$.

Và:
$SA = a\sqrt{3}$.

Ta có:
$AC \perp AB$ và $AC \perp SA$.

Mà $AB,\ SA$ là hai đường cắt nhau nằm trong mặt phẳng $(SAB)$ nên:
$AC \perp (SAB)$.

Lại có:
$AC \subset (SAC)$.

Suy ra:
$(SAB)\perp (SAC)$.

Vì $\triangle ABC$ vuông cân tại $A$ nên:
$M$ là trung điểm của $BC$.

Suy ra:
$AM \perp BC$.

Lại có:
$SA \perp (ABC)$ nên:
$SA \perp BC$.

Do đó:
$BC \perp SA$ và $BC \perp AM$.

Mà $SA,\ AM$ là hai đường cắt nhau thuộc mặt phẳng $(SAM)$ nên:
$BC \perp (SAM)$.

Suy ra:
$BC \perp SM$.

Vì $SA \perp (ABC)$ nên hình chiếu vuông góc của $SC$ lên $(ABC)$ là $AC$.

Do đó góc giữa $SC$ và $(ABC)$ là:
$\widehat{SCA}$.

Xét tam giác vuông $SAC$ tại $A$:

$SA = a\sqrt{3},\ AC = a$.

Ta có:
$SC=\sqrt{SA^2+AC^2}$

$=\sqrt{3a^2+a^2}$

$=2a$.

Suy ra:
$\sin \widehat{SCA}=\dfrac{SA}{SC}$

$=\dfrac{a\sqrt3}{2a}$

$=\dfrac{\sqrt3}{2}$.

Vậy:
$\widehat{(SC,(ABC))}=60^\circ$.

Ta có

SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ DC ⊂ (ABC)

Vì AC và BD cắt nhau tại trung điểm Ocủa mỗi đoạn nên tứ giác ABCD là hình bình hành và ta có AB // CD. Vì AB ⊥ AC nên CD ⊥ CA. Mặt khác ta có CD ⊥ SA, do đó CD⊥(SCA)

Nhận xét

Gọi (α) là mặt phẳng qua SM và song song với AB.

Ta có BC // (α) và (ABC) là mặt phẳng chứa BC nên (ABC) sẽ cắt (α) theo giao tuyến d đi qua M và song song với BC, d cắt AC tại N.

Ta có (α) chính là mặt phẳng (SMN). Vì M là trung điểm AB nên N là trung điểm AC.

+ Xác định khoảng cách.

Qua N kẻ đường thẳng d’ song song với AB.

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua SN và d’.

Ta có: AB // (P).

Khi đó: d(AB, SN) = d(A, (P)).

Dựng AD ⊥ d’, ta có AB // (SDN). Kẻ AH vuông góc với SD, ta có AH ⊥ (SDN) nên:

d(AB, SN) = d(A, (SND)) = AH.

Trong tam giác SAD, ta có 

Trong tam giác SAB, ta có S A   =   A B . tan 60 o   =   2 a 3 và AD = MN = BC/2 = a.

Thế vào (1), ta được

c.

Từ M kẻ \(MH\perp SC\) (H thuộc SC)

\(\Rightarrow H\in\left(\alpha\right)\Rightarrow\) thiết diện là tam giác BMH

Do \(\left\{{}\begin{matrix}BM\perp\left(SAC\right)\\MH\in\left(SAC\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BM\perp MH\Rightarrow\Delta BMH\) vuông tại M

Trong tam giác vuông ABC: \(BM=\dfrac{1}{2}AC=a\) (trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Hai tam giác vuông CHM và CAS đồng dạng (chung góc C)

\(\Rightarrow\dfrac{MH}{SA}=\dfrac{CM}{SC}\Rightarrow MH=\dfrac{SA.CM}{SC}=\dfrac{SA.\dfrac{AC}{2}}{\sqrt{SA^2+AC^2}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{5}\)

\(\Rightarrow S_{BMH}=\dfrac{1}{2}BM.MH=\dfrac{a^2\sqrt{5}}{10}\)